\begin{exercice}
    \begin{enumerate}
    \item Soit la fonction $g$ définie sur ${\mathbb R}$ par~:
      \[g(x)=2x-\sqrt{1+x^2}.\]
      \begin{enumerate}
      \item Étudier les variations de la fonction $g$.
      \item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une
        solution unique $\alpha $ que l'on déterminera.
      \item En déduire le signe de $g$ sur ${\mathbb R}$.
      \end{enumerate}
    \item Soit la fonction $f$ définie sur ${\mathbb R}$ par:
      \[f(x)=2\sqrt{1+x^2}-x\]
       et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative
       dans le plan muni d'un repère orthogonal. On note
      $\left(\mathscr{D}\right)$ et $(\mathscr{D}')$ les
      droites d'équations respectives $y=x$ et $y=-3x$.
      \begin{enumerate}
      \item Étudier les limites de $f$ en $+\infty $ et en
        $-\infty $.
      \item Montrer que, pour tout réel $x$ :
        \[f'(x)= \dfrac{g(x)}{\sqrt{1+x^2}}.\]
      \item En déduire le tableau de variation de $f$.
       \item Montrer que la droite $\left(\mathscr{D}\right):y=\textcolor{red}{x}$ est
        asymptote oblique  à la courbe $\mathscr{C}$ en $\textcolor{green!60!black}{+\infty}$ c'est-à-dire que $\displaystyle\lim_{x\to\textcolor{green!60!black}{+\infty}}\left[f(x)-\textcolor{red}{x}\right]=0$.
      \item Montrer de la même façon que la droite $\left(\mathscr{D}'\right)$ est
        asymptote oblique  à la courbe $\mathscr{C}$ en $-\infty$.
      \item Étudier la position de $\mathscr{C}$ par rapport aux deux droites
        $\left(\mathscr{D} \right)$ et $({\mathscr{D}}')$.
      \item Tracer la courbe $\mathscr{C}$ ainsi que les droites
        $\left(\mathscr{D}\right)$ et~$({\mathscr{D}}')$.
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
  \end{exercice}

