\begin{exercice}[Approximation d'un angle]
Soit un angle géométrique $\widehat{AOB}$ mesuré en degrés, le point $M$ sur $[OA)$ et le point $N$ sur $[OB)$ tels que \mbox{$OM=ON=60$ mm} et le point $I$ milieu de $[MN]$.
\begin{center}
\psset{unit=.8cm,linewidth=0.5pt,algebraic=true}
	\begin{pspicture*}(-1,-.5)(7.5,3.8)
        \pswedge[linecolor=Blanc,fillstyle=solid,fillcolor=B4](0,0){6}{0}{30}
        \psline(7.5,0)(0,0)(6.0622, 3.5)
        \psline[linecolor=B2,linewidth=1.2pt](6, 0)(5.1962,3)
        \psline[linestyle=dashed](0,0)(5.5981,1.5)
		\uput[-135](0,0){$O$} \uput[-90](7,0){$A$} \uput[120](5.6292, 3.25){$B$}
\rput[0](5.6292, 3.25){\rotatebox{120}{$-$}}
\rput[0](7,0){\rotatebox{90}{$-$}}
     		\uput[45](6,0){\textcolor{B2}{$M$}} \uput[120](5.1962,3){\textcolor{B2}{$N$}} \uput[-120](5.5981,1.5){$I$}
 \uput[30](5.7956, 1.5529){\textcolor{B2}{\large{$\alpha$}}}
		\uput[d](1,0){10}
		\uput[d](2,0){20}
		\uput[d](3,0){30}
		\uput[d](4,0){40}
		\uput[d](5,0){50}
		\uput[d](6,0){60}
        \psarc[linewidth=0.8pt,linestyle=dotted](0,0){1}{0}{30}
        \psarc[linewidth=0.8pt,linestyle=dotted](0,0){2}{0}{30}
        \psarc[linewidth=0.8pt,linestyle=dotted](0,0){3}{0}{30}
        \psarc[linewidth=0.8pt,linestyle=dotted](0,0){4}{0}{30}
        \psarc[linewidth=0.8pt,linestyle=dotted](0,0){5}{0}{30}
        \psarc[linewidth=0.8pt,linestyle=dotted](0,0){6}{0}{30}
        \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=B2,linecolor=B2,linewidth=0.8pt](6,0){0.07}
        \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=B2,linecolor=B2,linewidth=0.8pt](5.1962,3){0.07}
	\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\sin\left(\dfrac{\pi\alpha}{360}\right)=\dfrac{MN}{120}$ où $MN$ est en mm.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $I=\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par :
\[f(x)=x-\sin x.\]
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$ sur $I$.
\item En déduire que, pour $x\in I$, $f(x)\in\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}-1\right]$.
\item Expliquer pourquoi, pour $x\in I$, on peut écrire $\sin x\approx x$ en commettant une erreur inférieure à 1.
 \end{enumerate}
 \item En déduire qu'en mesurant $MN$ en millimètres, on obtient une approximation de $\alpha$ en degrés.
 \item  Soit $g$ la fonction qui à $\alpha$ associe $MN$.\par
  À l'aide de la formule d'Al-Kashi, exprimer $g(\alpha)$.
\item Soit la fonction $\delta:\alpha\mapsto g(\alpha)-\alpha$.\par
 À l'aide de la calculatrice, représenter graphiquement la fonction $\delta$. Que peut-on en conclure ?
 \end{enumerate}
\end{exercice}

