\begin{exercice}
\partie{}
On rappelle les formules trigonométriques suivantes :
\begin{itemize}
\item $\cos 2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a.$
\item $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Déterminer une valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$ et $\sin \dfrac{\pi}{8}$.
\item En déduire une valeur exacte de $\cos \dfrac{3\pi}{8}$.
\item Montrer que $\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$.
\end{enumerate}
\partie{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[f(x)=\sin^3x\cos 3x.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'on peut restreindre l'étude de $f$ à l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\item Étudier les variations de $f$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.\par
   Dresser le tableau de variation complet de $f$.\par
   \emph{On admettra que : $f\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=-\dfrac{3+2\sqrt{2}}{8}$.}
\item Résoudre sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ l'équation $f(x)=0$.
\item Représenter $f$ sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ dans un repère.
\end{enumerate}
\end{exercice}

