\begin{exercice}
Soit  deux suites $\left(u_n\right)_{n\geqslant1}$ et $\left(v_n\right)_{n\geqslant1}$ définies par :
\begin{center}
$\begin{array}{@{}l}
u_n=\sin\dfrac1{n^2}+\sin\dfrac2{n^2}+\cdots+\sin\dfrac{n}{n^2} ;\\
v_n=\dfrac1{n^2}+\dfrac2{n^2}+\cdots+\dfrac{n}{n^2}.
\end{array}$
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ converge vers $\dfrac12$.
\item \begin{enumerate}
\item Soit les trois fonctions suivantes :\label{trois_fonctions}
\begin{center}
$\begin{array}{@{}l}
f:x\mapsto x-\sin x \\
g:x\mapsto -1+\dfrac{x^2}2+\cos x \\[2mm]
h:x\mapsto -x+\dfrac{x^3}6+\sin x
\end{array}$
\end{center}
Démontrer que ces fonctions sont à valeurs \mbox{positives} ou nulles sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
%On pourra utiliser les variations de chacune de ces trois fonctions.
\item Justifier que pour tout $n\geqslant1$ :
\[1^3+2^3+\cdots+n^3\leqslant n^4.\]
Déduire du \RefItem{trois_fonctions} l'inégalité :
\[v_n-\dfrac{1}{6n^2}\leqslant u_n\leqslant v_n \quad \text{~pour~tout~} n{\in}\mathbb{N}.\]
\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente .\par
Déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

