\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\left[0~;~\pi\right]$ par :
\[g(x)=x\cos x-\sin x.\]
\begin{enumerate}
\item Étudier $g$ et dresser son tableau de variation.
\item En déduire le signe de $g(x)$ sur $\left[0~;~\pi\right]$.
\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0~;~\pi\right[$ par :
\[\left\{\begin{array}{rcll}
f(0)&=&1\\[4pt]
f(x)&=&\dfrac{\sin x}{x}& \text{pour~} x\in]0~;~\pi]
\end{array}\right.\]
Étudier les variations de $f$ sur $]0~;~\pi]$.
\item Étudier la limite de $f$ en $0$.
\item Soit la fonction $\varphi$ définie sur $[0~;~\pi]$ par :
\[\varphi(x)=\sin x-x+\dfrac{x^3}6.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $\varphi'(x)$, $\varphi''(x)$ et $\varphi'''(x)$.
\item En déduire le signe de $\varphi$.
\item Prouver alors que, pour tout réel $x\in[0~;~\pi]$ :
\[0\leqslant x-\sin x\leqslant \dfrac{x^3}6.\]
\end{enumerate}
\item Prouver que $f$ est dérivable en $0$ et calculer $f'(0)$.
\item Construire la courbe représentative de  $f$ dans un \mbox{repère} orthonormé \it(on prendra 3 cm pour unité).
\end{enumerate}
\end{exercice}

