\begin{exercice}
\partie
Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par  :
\[f(x) = (\cos x+1) \sin x.\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f'$  est définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par :
\[f'(x)=2\cos^2 x+\cos x-1.\]
\item Étudier le signe du trinôme $2X^2 + X - 1$.
\item En déduire le signe de $f'(x)$, puis les variations de $f$.
\end{enumerate}

\partie
$ABCD$ est un trapèze tel que $AD = AB = BC = 1$.\\
Déterminer la valeur de l'angle $\alpha$ pour laquelle l'aire du trapèze est maximale.
\begin{center}
\psset{xunit=.8cm,yunit=.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.8,-1)(5.7,3)
\pspolygon(-2.24,0)(0,2)(3,2)(5.24,0)
\pspolygon(0,0)(0,0.21)(-0.21,0.21)(-0.21,0)
\pspolygon(3.21,0)(3.21,0.21)(3,0.21)(3,0)
\psline(0,2)(3,2)
\psline(-2.24,0)(0,2)
\psline(0,2)(3,2)
\psline(3,2)(5.24,0)
\psline(5.24,0)(-2.24,0)
\psline[linestyle=dashed](0,2)(0,0)
\psline[linestyle=dashed](3,2)(3,0)
\pscustom{\parametricplot{0.0}{0.7297276562269663}{0.6*cos(t)+-2.24|0.6*sin(t)+0}\lineto(-2.24,0)\closepath}
\pscustom{\parametricplot{2.411864997362827}{3.141592653589793}{0.6*cos(t)+5.24|0.6*sin(t)+0}\lineto(5.24,0)\closepath}
\uput[r](-1.8,0.25){$\alpha$}
\uput[r](4.1,0.25){$\alpha$}
\rput[bl](0.08,2.12){$A$}
\rput[bl](3.08,2.12){$B$}
\uput[l](-2.24,0){$D$}
\uput[r](5.24,0){$C$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{exercice}

