\begin{exercice}[Arc  de sinusoïde][\algo]
Le but est d'estimer la longueur $\ell$ de l'arc de la courbe représentative de la fonction sinus sur $[0~;~\pi]$.\\
Pour cela, on subdivise $[0~;~\pi]$ en $n\geqslant2$ intervalles de longueurs $\dfrac{\pi}{n}$ et on approche la courbe par une ligne brisée qui relie dans l'ordre les points de coordonnées $\left(\dfrac{k\pi}{n}~;~\sin \dfrac{k\pi}{n}\right)$ pour $k\in\{0~;~1~;~2~;~\cdots~;~n\}$.\\
On note $\ell_n$ la longueur de la ligne brisée.

\columnbreak

\vspace*{1cm}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.4)(3.2,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=Gris1, opacity=0.5](.785398,0.)(.785398,0.70710678)(1.57079633,1)(1.57079633,0)(.785398,0.)
\psgrid[xunit=6.28318531cm,subgriddiv=4,subgridcolor=A3,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(-6,-3)(5,3)
\psaxes[xunit=1.57079633cm,labelFontSize=\normalsize,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10.,Dy=1,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.4)(4.074,1.1)
\psplot[linestyle=solid,linewidth=0.5pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{0}{3.1416}{sin(x)}
\psline[linecolor=blue!60!black,linewidth=0.5pt,](0,0)(.785398,0.70710678)(1.57079633,1)(2.3561945,0.70710678)(3.141592654,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](.785398,0)(.785398,0.70710678)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](1.57079633,0)(1.57079633,1)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](2.3561945,0.)(2.3561945,0.70710678)
\uput[dl](0,0){$0$}
\rput[u](.785398,-0.2){$\dfrac{\pi}{4}$}
\rput[u](1.57079633,-0.2){$\dfrac{\pi}{2}$}
\rput[u](2.3561945,-0.2){$\dfrac{3\pi}{4}$}
\rput[u](3.141592654,-0.2){$\pi$}
\uput[u](3.1416,0){$x$}
\uput[r](0,1){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $\ell_2$ et $\ell_3$.
\item L'algorithme suivant, destiné à afficher en sortie la longueur $\ell_n$ en fonction de $n$, est incomplet.
\begin{center}

\vspace{1cm}

\begin{minipage}{0.8\linewidth}
\begin{oldalgorithme}
\textit{Variables}
i, n et L sont des nombres
\textit{Traitement}
Lire n
Affecter à L la valeur 0
POUR i ALLANT DE 0 à n
    DÉBUT POUR
    L PREND LA VALEUR L + \colorbox{H1}{\phantom{EEE}}
    FIN POUR
Afficher L
\end{oldalgorithme}
\end{minipage}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{enumerate}
\item Compléter l'instruction manquante à la ligne 8.
\item Programmer cet algorithme sur AlgoBox.
\item Que vaut environ $\ell_{1\,000}$ ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Modifier l'algorithme précédent pour approcher l'aire $\mathcal{A}_n$ du domaine délimité par l'arc et l'axe des abscisses (on pourra considérer des trapèzes comme celui qui est ombré sur la figure).\par
Vérifier que cette aire semble tendre vers 2 lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
\item On admet que $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\mathcal{A}_n=2$.\par
En déduire que $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sin \dfrac{k\pi}{n}=\dfrac{2}{\pi}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

