\begin{exercice}
\partie{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$  par :
\[f(x) = \dfrac{3\left(x-1\right)^3}{3x^2+1}.\]
représentée par $\mathscr{C}$ dans un repère.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un triplet de réels $(a~;~b~;~c)$, que l'on déterminera, tel que pour tout réel $x$ :
\[f(x) = ax + b + \dfrac{c x}{3x^2 + 1}.\]
\item Justifier que
$\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$.\par
\item Étudier la position de $\mathscr{C}$ par rapport à la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y = ax+b$.
\item Que peut-on dire de $\mathscr{C}$ par rapport à  $\mathscr{D}$ lorsque $|x|$ augmente ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\partie{}
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[g(x) = \dfrac{3\left(\sin x - 1\right)^3}{3\sin^2x+1}.\]
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $g$ est $2\pi$-périodique.
\item \begin{enumerate}
\item Exprimer une relation entre $f$ et $g$.\par
\item On admet que, si $u$ et $v$ sont deux fonctions \mbox{dérivables} sur $\mathbb{R}$, alors la fonction composée de $v$ suivie de $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
\[\left[u(v(x))\right]'=v'(x)\times u'\left(v(x)\right).\]
En déduire une expression de $g'(x)$.
\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de $g$ sur $[-\pi~;~\pi]$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


