\begin{exercice}[Optimiser le volume d'un cône]
À partir d'un secteur angulaire  $\widehat{AOB}$ de mesure $\alpha$, on forme un cône en joignant les segments $[OA]$ et $[OB]$.\\
Le but est de déterminer quelle mesure en radians de l'angle $\alpha$ donne au cône son volume maximal.
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.7,-1.7)(1.7,1.7)
\pswedge[linestyle=dashed](0,0){1.5}{-35}{35}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=J2](0,0){1.5}{35}{-35}
\psarc[linewidth=0.5pt](0,0){0.3}{35}{-35}
\uput[l](-0.2,0){$\alpha$}
\uput{1.5}[-35](0,0){$A$}
\uput{1.5}[35](0,0){$B$}
\uput[r](0.1,0){$O$}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.7,-0.6)(1.7,2.8)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=J2,linewidth=0.5pt,linecolor=H2](-1.118,0)(0,2)(1.118,0)
\psline(0,2)(-1.118,0.05)
\psline(0,2)(1.118,0.05)
\psplot[fillstyle=solid,fillcolor=J2,linestyle=solid,linewidth=0.8pt,plotpoints=5000]{-1.118}{1.118}{-sqrt(5-4*x^2)/4.47214}
\psplot[fillstyle=solid,fillcolor=J2,linestyle=dashed,linewidth=0.8pt,plotpoints=5000]{-1.118}{1.118}{sqrt(5-4*x^2)/4.47214}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0,2)(0,0)(1.118,0)
\uput[r](0,1){$h$}
\uput[d](0.559,0){$r$}
\uput[45](1.118,0){$B$}
\uput[-45](1.118,0){$A$}
\uput[u](0,2){$O$}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item Exprimer le rayon $r$ et la hauteur $h$ du cône en fonction de $OA$ et $\alpha$.
\item Prouver que le volume du cône en fonction de $\alpha$ est :
\[\mathcal{V}(\alpha)=\dfrac{OA^3}{24\pi^2}\alpha^2\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}.\]
\item \begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $\mathcal{V}$ sur $]0~;~2\pi[$.
\item En déduire que $\mathcal{V}$ admet un maximum et \mbox{répondre} au problème posé.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

