\begin{exercice}[Ensemble de barycentres]
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés et $\alpha$ un réel dans l'intervalle $[-1~;~1]$.\\
On définit le point $G_\alpha$ par l'égalité vectorielle :
\[(\alpha^2+1)\overrightarrow{G_\alpha A}+\alpha\overrightarrow{G_\alpha B}-\alpha\overrightarrow{G_\alpha C}=\overrightarrow{0}.\]
\begin{enumerate}
\item Faire une figure et placer les points $G_1$ et $G_{-1}$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que $\overrightarrow{AG_\alpha}=-\dfrac{\alpha}{\alpha^2+1}\overrightarrow{BC}$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[-1~;~1]$ par :
\[f(\alpha)=-\dfrac{\alpha}{\alpha^2+1}.\]
Dresser le tableau de variation de $f$.
\item En déduire l'ensemble des points $G_\alpha$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

