\begin{exercice}
\partie[Une auxiliaire rationnelle]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ par :
\[f(x)=\dfrac{1-x^2}{2+x}.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'on peut écrire $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+2}$ avec $a$, $b$ et $c$ trois réels qu'on déterminera.
\item Étudier les variations de $f$ et montrer que $f$ a deux extremums locaux.
\item Dans un repère, soit  $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ et le point $\Omega(-2~;~4)$.\par
     Démontrer que $\mathscr{C}$ est symétrique par rapport à $\Omega$.
\end{enumerate}

\partie[Une composée de sinus]
Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[\varphi(t)=\dfrac{1-\sin^2 t}{2+\sin t}.\]
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $t$, montrer que $\varphi(\pi-t)=\varphi(t)$.\par
Expliquer alors pourquoi on peut restreindre l’étude des variations de $\varphi$ à l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\item
\begin{enumerate}
\item  Justifier que l'équation $\sin t =\sqrt{3}-2$ a une unique solution (notée $\alpha$)  dans  $\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\item En utilisant les résultats de la partie A, étudier les variations de $\varphi$ sur  $\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\alpha\right]$ puis sur $\left[\alpha~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\item Prouver que $\varphi'(t)=f'(\sin t)\cos t$.\par
Retrouver les valeurs pour lesquelles $\varphi'(t)=0$.
\item Représenter graphiquement $\varphi$ sur
$\left[-\dfrac{3\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

