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\begin{activite}[Vers les fonctions sinus et cosinus]
\partie[Dégager le sinus]
\begin{enumerate}
\item Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique et choisir comme unité d'angle le radian.
\begin{enumerate}
\item Créer les points $O(0~;~0)$, $I(1~;~0)$, $J(0~;~1)$, $~K(-1~;~0)$ et $L(0~;~-1)$.
\item Créer le cercle de centre $O$ et de rayon 1.
\item Créer un curseur d'angle $\alpha$ allant de $-\dfrac{\pi}{2}\approx-1,57$ à $\dfrac{3\pi}{2}\approx4,71$ avec un pas de 0,01.
\item Créer le point  $M(\cos \alpha~;~\sin \alpha)$ et le segment $[OM]$.\par
    Justifier que $M$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon 1.
\item Créer le point $S(\alpha~;~\sin \alpha)$ et le segment $[MS]$.
\item Afficher la trace de $S$ et animer le curseur $\alpha$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=1.6cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.6,-1.2)(5,1.3)
%\psgrid[xunit=1.445132621cm,subgriddiv=1,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(-6,-2)(4.5,2)
\psaxes[labelFontSize=\normalsize,xAxis=true,yAxis=true,Dx=100.,Dy=100,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-1.6,-1.2)(5,1.3)
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=A1!60!black,opacity=0.2](0,0){1.8}{0}{60.1149}
\pscircle(0,0){1.8}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=A1!60!black](1.1,-0.8)(3.1,-0.8)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=A1!60!black,linewidth=0.8pt](2.7,-0.8){0.07}
\uput[u](2.7,-0.8){\textcolor{A1!60!black}{$\alpha=1,05$ rad}}
\psplot[linestyle=solid,linewidth=0.8pt,linecolor=B2,plotpoints=5000]{-1.5708}{4.7124}{sin(x)}
\psline[linestyle=dashed](1.0492,0.867)(0.4983,0.867)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0.4983,0.867)
\uput[-45](0,0){$O$} \uput[-45](1,0){$I$} \uput[u](0.4983,0.867){$M$} \uput[u](1.0492,0.867){\textcolor{B2}{$S$}}
\uput[135](0,1){$J$} \uput[-135](-1,0){$K$}  \uput[-135](0,-1){$L$}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linewidth=0.8pt](0,0){0.07}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linewidth=0.8pt](1,0){0.07}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linewidth=0.8pt](0,1){0.07}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linewidth=0.8pt](-1,0){0.07}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linewidth=0.8pt](0,-1){0.07}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=B2,linewidth=0.8pt](1.0492,0.867){0.07}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linewidth=0.8pt](0.4983,0.867){0.07}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item Soit la fonction $f:\alpha \mapsto \sin \alpha$ définie sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{3\pi}{2}\right]$.
\begin{enumerate}
\item Comment varie l'ordonnée de $S$ quand $M$ parcourt l'arc de cercle :
\begin{colitemize}{4}
\item $\overarc{LI}$ de $L$ à $I$ ?
\item $\overarc{IJ}$ de $I$ à $J$ ?
\item $\overarc{JK}$ de $J$ à $K$ ?
\item $\overarc{KL}$ de $K$ à $L$ ?
\end{colitemize}
\item Décrire les variations de  $f$. Quels sont ses extremums ?
\item Dresser un tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de $\alpha$ associées aux points $I$, $J$, $K$ et $L$ dans les intervalles suivants.
\begin{colitemize}{2}
\item $\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{3\pi}{2}\right]$ \item  $\left[\dfrac{3\pi}{2}~;~\dfrac{7\pi}{2}\right]$
\end{colitemize}
\item Soit la fonction $g:\alpha \mapsto \sin \alpha$ définie sur $\left[\dfrac{3\pi}{2}~;~\dfrac{7\pi}{2}\right]$.\par
Expliquer pourquoi on peut aisément déduire le tableau de variation de $g$ de celui de $f$ ?
\item Quelle formule trigonométrique met-on ainsi en évidence ?
\item Quelle particularité aura la courbe représentative de la fonction $\alpha\mapsto \sin \alpha$ définie sur $\mathbb{R}$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie[Déboucher sur cosinus]
\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $h:\alpha \mapsto \cos \alpha$ définie sur $\left[-\pi~;~\pi\right]$.
\begin{enumerate}
\item Écrire plus simplement $\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)$.
\item En déduire les variations de $h$ à partir de celles de la fonction $f$ de la première partie.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Soit $\alpha$ un réel. Écrire plus simplement $\cos(-\alpha)$ et $\sin(-\alpha)$.
\item Qu'en déduit-on pour les courbes représentatives dans un repère orthogonal des \mbox{fonctions} $\alpha\mapsto \cos \alpha$ et  $\alpha\mapsto \sin \alpha$ définies sur $\mathbb{R}$  ?
\end{enumerate}\end{enumerate}
\vspace{-1cm}
\end{activite}
