\begin{activite}[Vers de nouvelles formules de dérivation]

\partie[Fonction sous radical]
Soit $u$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=x^2-2x-8$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $u(x)$.
\item En déduire l'ensemble de définition de la fonction $\sqrt{u}$.
\end{enumerate}

\vspace{1mm}
\item
\begin{enumerate}
\item  Soit $h$ un réel strictement positif. Montrer que $\dfrac{\sqrt{u(4+h)}-\sqrt{u(4)}}{h}=\sqrt{1+\dfrac{6}{h}}$.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{\sqrt{u(4+h)}-\sqrt{u(4)}}{h}$.\par
\item En déduire que la fonction $\sqrt{u}$ n'est pas dérivable en 4.\par
Pour la suite, on admet que $\sqrt{u}$ est dérivable sur $]-\infty~;~-2[\,\cup\,]4~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\item Soit $v$ une fonction quelconque dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$.\par
On pose $f=\sqrt{v}$ et on admet que $f$ est dérivable sur $I$.
\begin{enumerate}
\item En dérivant chaque membre de l'égalité  $f\times f=v$, écrire $f'$ en fonction de $v'$ et $f$.
\item En déduire une formule pour $\left(\sqrt{v}\right)'$.
\end{enumerate}
\item Appliquer la  formule précédente et exprimer la dérivée de la fonction $f:x\mapsto \sqrt{x^2-2x-8}$.\par
 Faire de même pour les fonctions suivantes, après avoir déterminé leurs ensembles de\linebreak définition et de dérivabilité.
\begin{itemize}
\item $g:x\mapsto \sqrt{5-3x}$
\item $h:x\mapsto \sqrt{\dfrac{4x-9}{7x-3}}$
\item $v:x\mapsto \sqrt{-9x^2+12x-4}$
\end{itemize}
\end{enumerate}

\partie[Fonction en puissance]\vspace{-5mm}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction polynôme de degré 4  définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\left(x^2-2x+2\right)^2$.
\begin{enumerate}
\item Développer $f(x)$. En déduire une expression développée de $f'(x)$.
\item En  dérivant un produit, déterminer une expression factorisée de $f'(x)$.
\item Pourquoi la forme factorisée de $f'(x)$ est-elle plus satisfaisante que sa forme développée ?
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, si $u$ est dérivable sur $I$, alors, pour tout $n\in\mathbb{N}$,  $u^n$ est dérivable sur $I$.
\item Calculer $\left(u^2\right)'$, $\left(u^3\right)'$ et $\left(u^4\right)'$.  Conjecturer une expression de $\left(u^n\right)'$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\item Démontrer  par récurrence la conjecture établie précédemment.
\end{enumerate}
\item Déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité de chaque fonction, puis appliquer la formule précédente pour obtenir une expression de sa fonction dérivée.
\begin{itemize}
\item $g:x\mapsto \left(5-3x\right)^3$
\item $h:x\mapsto \left(\dfrac{4x-9}{7x-3}\right)^2$
\item ${v:x\mapsto \left(-9x^2+12x-4\right)^4}$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{activite}

