 \begin{TP}[Encore des à-coups]
Les sinusoïdes ayant deux tangentes horizontales par période, on peut envisager de s'en servir pour définir une vitesse continue qui suit une loi en cosinus à l'accélération et à la décélération et qui reste constante entre ces deux phases.\\
Considérons un mécanisme qui amène un solide d'une position $x\!=\!0$ à une position $x\!=\!120$ dans un mouvement rectiligne
divisé en trois étapes de même durée (3 s) dont la vitesse est  :
\[v(t)=\left\{\begin{array}{cl}
\dfrac{v_0}{2}(1 - \cos \pi t) & \text{pour~} 0\leqslant t<3 \\
v_0 & \text{pour~} 3\leqslant t<6 \\
\dfrac{v_0}{2}(1 + \cos \pi t) & \text{pour~} 6\leqslant t<9 \\
\end{array}\right..\]
\begin{enumerate}
\item Vérifier que  la fonction position $x$ est :
$x(t)=\left\{\begin{array}{cl}
\dfrac{v_0}{2}\left(t - \dfrac{1}{\pi}\sin \pi t\right)+k_1 & \text{pour~} 0\leqslant t<3 \\
v_0 t + k_2 & \text{pour~} 3\leqslant t<6 \\
\dfrac{v_0}{2}\left(t + \dfrac{1}{\pi}\sin \pi t\right)+k_3 & \text{pour~} 6\leqslant t<9 \\
\end{array}\right..$
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item \begin{enumerate}
\item En exprimant les conditions initiale et finale, déterminer $k_1$ et  $k_3$ en fonction de $v_0$.
\item En exprimant la continuité en 3, déterminer $k_2$ en fonction de $v_0$.
\item En exprimant la continuité en 6, déterminer la vitesse $v_0$.
\end{enumerate}
\item Déterminer la fonction accélération $a$. Quelle est l'accélération maximale en valeur absolue ?
\item Déterminer la fonction à-coup $j$. Quel est l'à-coup maximal en valeur absolue ?
\item Finalement, entre cette loi et la loi trapézoïdale en accélération vue dans le TP précédent, laquelle serait la plus favorable ?
\end{enumerate}
\end{TP}

