\partie{Loi trapézoïdale en vitesse}

\begin{minipage}{0.68\linewidth}
Considérons un mécanisme qui amène un solide d'une position $x\!=\!0$ à une position $x\!=\!20$ dans un mouvement rectiligne.\\
Divisons le mouvement en trois étapes de même durée (1 s) : une accélération uniforme de $10$ m$\cdot$s$^{-2}$  jusqu'à la vitesse de 10 m$\cdot$s$^{-1}$ puis,
une vitesse uniforme de 10 m$\cdot$s$^{-1}$ et enfin, une décélération uniforme de $10$ m$\cdot$s$^{-2}$ jusqu'à l'arrêt.
\smallskip
\begin{enumerate}
\item Vérifier que les données du mouvement se traduisent par  :
\[\left\{\begin{array}{ll}
a(t)=10 & \text{pour~} 0\leqslant t<1 \\
v(t)=10 & \text{pour~} 1\leqslant t<2 \\
a(t)=-10 & \text{pour~} 2\leqslant t\leqslant3 \\
\end{array}\right..\]
\item En déduire que la position $x$ est la fonction définie par :
\[x(t)=\left\{\begin{array}{cl}
5t^2 & \text{pour~} 0\leqslant t<1 \\
10t-5 & \text{pour~} 1\leqslant t<2 \\
-5(t^2-6t+5) & \text{pour~} 2\leqslant t\leqslant3 \\
\end{array}\right..\]
\item Discuter de la continuité et de la dérivabilité en $1$ et en $2$ des fonctions position $x$,  vitesse $v$, accélération $a$ et à-coup $j$.
 \end{enumerate}
\smallskip
 Avec une telle cinématique, on voit que l'accélération est une fonction en escalier, non continue en 1 et en 2 donc non dérivable en 1 et en 2.
Aux deux transitions du mouvement, l'à-coup est donc infini ce qui est inacceptable.
 \end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
 \begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-5)(4,26)
\psgrid[yunit=0.5cm,subgriddiv=1,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(0,0)(3,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=5.,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-0.3,-3)(3.5,22)
\psplot[linestyle=solid,linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{0}{1}{5*x^2}
\psplot[linestyle=solid,linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{1}{2}{10*x-5}
\psplot[linestyle=solid,linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{2}{3}{-5*x^2+30*x-25}
\uput[r](3.5,0){$t$}
\uput[u](0,21.5){$x$}
\end{pspicture*}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-2.5)(4,13)
\psgrid[yunit=1cm,subgriddiv=1,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(0,0)(3,2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=5.,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-0.3,-1.5)(3.5,11)
\psline[linestyle=solid,linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0)(1,10)(2,10)(3,0)
\uput[r](3.5,0){$t$}
\uput[u](0,10.5){$v$}
\end{pspicture*}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-13)(4,16)
\psgrid[yunit=.5cm,subgriddiv=1,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(0,-2)(3,2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=5.,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-0.3,-11)(3.5,12)
\psplot[linestyle=solid,linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{0}{1}{10}
\psplot[linestyle=solid,linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{1}{2}{0}
\psplot[linestyle=solid,linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{2}{3}{-10}
\uput[r](3.5,0){$t$}
\uput[u](0,11.5){$a$}
\end{pspicture*}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-22)(4,10)
%\psgrid[yunit=5cm,subgriddiv=1,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(0,-4.4)(3,0.1)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=100.,Dy=100.]{->}(0,0)(-0.3,-22)(3.5,5)
\psline[linestyle=solid,linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0)(0.97,0)
\psline[linestyle=solid,linewidth=1.5pt,linecolor=red](1.03,0)(1.97,0)
\psline[linestyle=solid,linewidth=1.5pt,linecolor=red](2.03,0)(3,0)
\psline[linestyle=solid,linewidth=1.pt,linecolor=red](1.97,0)(2,-22)(2.03,0)
\psline[linestyle=solid,linewidth=1.pt,linecolor=red](0.97,0)(1,-22)(1.03,0)
\uput[r](3.5,0){$t$}
\uput[u](0,4.5){$j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

\pagebreak

