\section{Opérations sur les limites}

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\begin{propriete}[Limite d'une somme, d'un produit et d'un quotient de deux fonctions]
\begin{colitemize}{3}
\item Limite d'une somme :\par\vspace{1mm}
\begin{tabular}{@{}|c|c|c|}
\hline
\rowcolor{white} $f$ & $g$ & $f+g$ \\
\hline
$\ell$ & $\ell'$ & $\ell+\ell'$ \\
\hline
$\ell$ & $\infty$ &  $\infty$ \\
\hline
$+\infty$ & $+\infty$  & $+\infty$  \\
\hline
$-\infty$ & $-\infty$  & $-\infty$  \\
\hline
 \rowcolor{Noir!10}  $+\infty$ &  $-\infty$ &  $???$ \\
 \hline
 \end{tabular}
\item Limite d'un produit :\par\vspace{1mm}
\begin{tabular}{@{}|c|c|c|}
\hline
\rowcolor{white} $f$ & $g$ & $fg$ \\
\hline
$\ell$ & $\ell'$ & $\ell\ell'$ \\
\hline
$\ell\!\neq\!0$ & $\infty$ &  $\infty$ \\
\hline
$\infty$ & $\infty$  & $\infty$  \\
\hline
 \rowcolor{Noir!10}  $0$ &  $\infty$ &  $???$ \\
 \hline
 \end{tabular}
 \item Limite d'un quotient :\par\vspace{1mm}
\begin{tabular}{@{}|c|c|c|}
\hline
\rowcolor{white} $f$ & $g$ & $f/g$ \\
\hline
$\ell$ & $\ell'\!\neq\!0$ & $\ell/\ell'$ \\
\hline
$\ell\!\neq\!0$ & $0$ &  $\infty$ \\
\hline
$\ell$ & $\infty$  & $0$  \\
\hline
\rowcolor{Noir!10}   $0$ & $0$  & $???$  \\
\hline
 \rowcolor{Noir!10}  $\infty$ &  $\infty$ &  $???$ \\
 \hline
 \end{tabular}
\end{colitemize}
\end{propriete}

\vspace{-3mm}

\begin{remarque}
\begin{itemize}
\item $\infty$ peut signifier $+\infty$ ou $-\infty$. Les règles du signe d'un produit ou d'un quotient demeurent.
\item Pour la limite de la différence $f-g$, on considère la limite de la somme $f+(-g)$.
\item Les quatre lignes grises des tableaux correspondent aux quatre cas d'indétermination :\\
\begin{minipage}{1.1\linewidth}
\begin{colitemize}{4}
\item « $\boldsymbol{(+\infty)+(-\infty)}$ »
\item « $\boldsymbol{0\times\infty}$ »
\item « $\boldsymbol{\dfrac{0}{0}}$ »
\item « $\boldsymbol{\dfrac{\infty}{\infty}}$ »
\end{colitemize}
\end{minipage}
Plusieurs techniques seront vues pour lever une indétermination. \MethodeRefExercice{meth_limite_fonction}
\end{itemize}
\end{remarque}

\begin{exemple*1}
Soit $f:x\mapsto  (1-x)\left(x^3+\dfrac{1}{x}\right)$ définie sur $\mathbb{R}$*. Calculons $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.\\
Par somme, $\displaystyle\lim_{x_\to+\infty}(1-x)\!=\!-\infty$ et  $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x^3+\dfrac{1}{x}\right)\!=\!+\infty$
donc, par produit, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\!=\!-\infty$.
\end{exemple*1}

