\begin{exercice}[D'après Bac (Centres Étrangers - 2014)\hfill\algo]
Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est définie par un réel $x$ de la façon suivante :
\begin{itemize}
\item $x = 0$ pour le blanc et $x = 1$ pour le noir ;
\item $x= 0,01 ~;~ x = 0,02$ et ainsi de suite jusqu'à $x = 0,99$ par pas de $0,01$ pour les nuances dégradées.
\end{itemize}

\vspace{2mm}

On donne aussi les définitions suivantes :
\begin{itemize}
\item Une fonction  $f$ est dite \textbf{fotopol} si   $f(0) = 0$, $f(1) = 1$ et
$f$ est continue et croissante sur $[0~;~1]$.
\item Une nuance $x$ est dite \textbf{assombrie} par $f$ si $f(x) > x$, et \textbf{éclaircie}, si $f(x) < x$.
\end{itemize}
Prenons par exemple l'image A ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering\arraybackslash}X}}
&
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!20](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,20}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!40](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,40}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!60](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,60}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!80](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,80}
\end{pspicture}&\\
&\emph{Image A}&\\
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!4](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,04}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!16](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,16}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!36](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,36}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!64](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,64}
\end{pspicture}
&&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!45](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,45}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!63](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,63}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!77](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,77}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!89](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,89}
\end{pspicture}\\
\emph{Image B}&&
\emph{Image C}
\end{tabularx}
\end{center}
\begin{itemize}
\item Si $f(x) = x^2$, un pixel de nuance $0,2$ prendra la nuance $0,2^2 = 0,04$ et l'image A se changera en B.
\item Si $f(x) = \sqrt{x}$, la nuance $0,2$ prendra la nuance $\sqrt{0,2}\approx 0,45$ et l'image A se changera en C.
\end{itemize}
Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par :
\[g(x) = 4x^3 - 6x^2 + 3x.\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $g$ est une fonction fotopol.
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $g(x) \leqslant x$, à l'aide du graphique donné ci-dessous.\par
Interpréter ce résultat en termes d'éclaircissement ou d'assombrissement.
\begin{center}
\psset{unit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.4,-0.4)(1.3,1.3)
\psgrid[linewidth=0.5pt,subgriddiv=4,subgridcolor=A3,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.15,-0.15)(1.2,1.2)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1pt,linecolor=red]{0}{1}{x 3 exp 4 mul x dup mul 6 mul sub 3 x mul add}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
Une modification de nuance n'est visible que si la \mbox{valeur} absolue de l'écart entre la nuance initiale et la nuance modifiée est supérieure ou égale à $0,05$.\\
Dans l'algorithme suivant, $f$ est une fonction fotopol.
\begin{center}
\begin{oldalgorithme}
\textit{Variables :}
x, y, E sont des réels
k et c sont des entiers
\textit{Traitement :}
c prend la valeur 0
Pour k allant de 0 à 100 faire
    x prend la valeur k/100
    y prend la valeur f(x)
    E prend la valeur |y-x|
    Si E$\geqslant$0,05 faire
        c prend la valeur c+1
    Fin si
Fin pour
Afficher c
\end{oldalgorithme}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quel est le rôle de cet algorithme ?
\item Quelle valeur affiche cet algorithme si on l'applique à la fonction $g$ ?
\end{enumerate}
\end{exercice}

