\begin{exercice}[D'après Bac (Polynésie - 2004)]

\vspace{2mm}
 
Soit la fonction $f_k$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[f_k(x) = x + \dfrac{1 - kx^2}{1 + kx^2}\]
où $k$ est un réel  positif ou nul.

\columnbreak

Dans le repère orthonormal de centre $O$ ci-dessous, on a représenté les droites $\mathscr{D}$ d'équation $y=x-1$ et $\mathscr{D}'$ d'équation $y = x + 1$, la courbe représentative  $\mathscr{C}_1$ de $f_1$ et deux autres courbes  représentatives de $f_k$ : $\mathscr{C}$ passant par $A\left(1~;~\dfrac{1}{3}\right)$  et $\mathscr{C}'$ passant par $B\left(1~;~\dfrac{5}{3}\right)$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-3.9,-3.9)(3.9,3.3)
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=0.5pt,gridcolor=A3,subgridcolor=A3,gridlabels=0pt](-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=0.8pt,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-3.9,-3.9)(3.9,3.3)
  \rput[0](2.4,2.6){\textcolor{blue}{$\mathscr{C}'$}}
  \rput[0](1.7,1.6){\textcolor{red}{$\mathscr{C}_1$}}
  \rput[0](0.25,0.25){\textcolor{green!60!black}{$\mathscr{C}$}}
   \uput[135](-0.5,0.3){$\mathscr{D}'$}
   \uput[-45](0.3,-0.5){$\mathscr{D}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=0.8pt]{-3.9}{3.9}{x +(1-0.2*x^2)/(1+0.2*x^2)}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=5000,linewidth=0.8pt]{-3.9}{3.9}{x +(1-x^2)/(1+x^2)}
\psplot[linecolor=green!60!black,plotpoints=5000,linewidth=0.8pt]{-3.9}{3.9}{x +(1-5*x^2)/(1+5*x^2)}
\psplot[linestyle=dashed,plotpoints=5000,linewidth=0.8pt]{-3.9}{3.9}{x-1}
\psplot[linestyle=dashed,plotpoints=5000,linewidth=0.8pt]{-3.9}{3.9}{x+1}
   \uput[-125](1,1.6666){$B$} \pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](1,1.6666){.07}
   \uput[125](1,0.3333){$A$} \pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](1,0.3333){.07}
   \pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](1,1){.07}
   \pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](0,1){.07}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f_k$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item Justifier que, pour tout réel $k\geqslant0$, la droite $\mathscr{D}'$ est tangente à la courbe représentative de $f_k$.
\item Déterminer le réel $k$ associé à $\mathscr{C}$ et celui associé à $\mathscr{C}'$.
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout $x$ réel, on a :
\[f_k(x) = x-1 + \dfrac{2}{1+kx^2} \text{~~et~~} f_k(x)=x+1-\dfrac{2kx^2}{1+kx^2}.\]
\item En déduire pour tout $k$ strictement positif :
\begin{itemize}
\item  la position de la courbe $\mathscr{C}_k$ par rapport aux droites $\mathscr{D}$ et
 $\mathscr{D}'$ ;
\item  les asymptotes de la courbe $\mathscr{C}_k$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item On fait tendre $k$ vers $+\infty$.\par
Vers quelle fonction $f_k$ va-t-elle se rapprocher ?
\end{enumerate}
\end{exercice}

