\begin{exercice}[D'après Bac (Nouvelle-Calédonie - 2000)]
Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal
$(O~;~\vec{i}~\vec{j})$ d'unité graphique 2 cm.\\
Soit la fonction numérique $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[u(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x\]
et $(\mathscr{C})$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $u$ en $-\infty$.
		\item Montrer que, pour tout $x$ réel :
\[u(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}.\]
En déduire la limite de $u$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $u(x)+2x$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $-\infty$.
		\item Montrer que pour tout $x$ réel, on a $u(x) > 0$.\par
    En déduire le signe de $u(x) + 2x$.
		\item Interpréter graphiquement ces résultats.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la dérivée de la fonction $u$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[u'(x) = \dfrac{- u(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}.\]
		\item Étudier les variations de la fonction $u$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $(\mathscr{C})$ et son asymptote oblique.
\end{enumerate}
\end{exercice}


