\section{Limite infinie en un réel}

\begin{definition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ du type $]x_0-\varepsilon~;~x_0[$ ou $]x_0~;~x_0+\varepsilon[$.\\
La fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $x_0$ si tout intervalle de $\mathbb{R}$ du type 
$]A~;~+\infty[$  contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez proche de $x_0$. On note alors : $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty$.\\
\end{definition}


\begin{exemple*1}
Soit $f$ la fonction définie sur $]1~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$. On a $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{1}{x-1}=+\infty$.\\
En effet, si $x$ tend  $1$, alors $x-1$ tend vers $0$ et son inverse tend vers $+\infty$.\\
Soit un intervalle ouvert $I=]1~;~1+\varepsilon[$. Alors, $f(x)$ sera toujours dans $I$ pour $x$ assez proche de $x_0$. Graphiquement,  $\mathscr{C}_f$ peut être aussi proche que l'on veut de la droite d'équation $x=1$.
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.2cm,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-.3,-2.5)(4.5,21)
\psframe*[linecolor=H4](1,0)(1.2,21)
\psgrid[yunit=1cm,subgriddiv=1,linewidth=0.5pt,gridcolor=A3,gridlabels=0pt](0,0)(5,10)
\psaxes[linewidth=0.8pt,Dx=1,Dy=5,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-0.25,-2)(4.5,21)
\uput[r](2,2.5){\textcolor{B2}{$\boldsymbol{\mathscr{C}_{f}:y=\dfrac{1}{x-1}}$}}
\psplot[linecolor=B2,plotpoints=5000,linewidth=1pt]{1.01}{4.5}{1/(x-1)}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed,linecolor=B2](1.2,0)(1.2,21)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=H1](1,0)(1,21)
\uput{7pt}[d](1.3,0){\textcolor{H1}{$1+\varepsilon$}}
\end{pspicture*}
\end{center}\vspace{-5mm}
\end{exemple*1}

