\begin{exercice}
  Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{-1~;~ 1\}$ par :
  \[f(x)= \dfrac{x^3+2x^2}{x^2-1}\] et
  $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan
  muni d'un repère orthonormé (unité graphique : 2 cm).\\
  Le but de ce problème est l'étude de la fonction $f$ et la
  résolution graphique d'une équation à partir de la courbe
  ($\mathcal{C}_{f} $) représentative de $f$.

  \partie[Étude d'une fonction auxiliaire]
  Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
  \[g(x) = x^3 - 3x - 4.\]
  \begin{enumerate}
  \item Étudier les variations de la fonction $g$.
  \item Démontrer qu'il existe un unique réel $\alpha\in]2,1~;~2,2[$ tel
    que $g(x) = 0$.\par
Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha$.
  \item Étudier le signe de $g$ sur $\mathbb{R}$.
  \end{enumerate}

  \partie[Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$]
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son
    domaine de définition.
  \item Démontrer que pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus \{-1~;~ 1\}$ :
    \[f'(x)= \dfrac{xg(x)}{(x^2- 1)^2}.\]
  \item En déduire le tableau de variation de la fonction.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Démontrer que, pour tout $x\in \mathbb{R}\setminus \{-1~;~ 1\}$ :
      \[f(x)=x+2+\dfrac{x+2}{x^2-1}.\]
    \item En déduire que la courbe $(\mathscr{C}_f)$ admet une
      asymptote oblique $(\mathcal{D})$ en $-\infty$ et en $+\infty$.\par
   \item Étudier la position de la courbe $(\mathscr{C}_{f})$
      par rapport à $(\mathcal{D})$.
    \end{enumerate}
  \item Tracer la droite $(\mathcal{D})$ et la courbe $(\mathscr{C}_f)$.
  \end{enumerate}
\end{exercice}

