\begin{exercice*}[~\hfill\ExerciceRefMethode{meth_tvi}]\label{exo_meth_tvi}
Soit la fonction $f$ définie sur $I=[-4~;~1]$ par :
\[f(x)=x^3+6x^2+9x+3\]
dont les variations sont données par le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general, scale=0.8]
  \tkzTabInit[lgt=0.8, espcl=2, color, colorC=H4, colorV=H4, colorL=H4, colorT=A4, lw=0.3mm]
  {$x$ / 1, $f$ / 2}
  { $-4$, $-3$, $-1$, $1$ }
  \tkzTabVar{-/$-1$,+/$3$,-/$-1$,+/$19$}
 \end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ est continue sur $I$.
\item Dénombrer les solutions de l'équation $f(x)=2$.
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que l'équation $f(x)=4$ admet une unique solution $\alpha$.
\item Déterminer un encadrement de $\alpha$ à l'unité près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \begin{corrige}
\begin{enumerate}
\item $f$ est une fonction polynôme de degré 3 donc $f$ est continue sur $[-4~;~1]$.
\item $f$ est continue et strictement croissante sur $[-4~;~-3]$. De plus, $f(-4)=-1<2$ et $f(-3)=3>2$. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution dans $[-4~;~-3]$.\par
    Le théorème s'applique aussi sur les intervalles $[-3~;~-1]$ et $[-1~;~1]$. On en déduit que l'équation $f(x)=2$ admet trois solutions dans $I$.
\item \begin{enumerate}
\item $f$ est continue et strictement croissante sur $[-1~;~1]$. De plus, $f(-1)=-1<4$ et $f(1)=19>4$. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=4$ admet une unique solution dans $[-1~;~1]$. Le maximum de $f$ sur $[-4~;~-1]$ est $3<4$ donc il n'y a pas d'autre solution sur $I$.
\item On sait déjà que $-1\leqslant \alpha \leqslant 1$.\par
On calcule $f(0)=3<4$ donc $0\leqslant \alpha \leqslant 1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice*}

