\begin{exercice}
Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0~;~+\infty[$ par :
\[f(x)=\sqrt{x} \text{~~et~~} g(x)=\sqrt{x+1}.\]
Dans le repère ci-dessous, on a représenté les graphes de $f$ et $g$ et deux points $F(x~;~f(x))$ et $G(x~;~g(x))$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=1cm,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(12.9,3.9)
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=0.5pt,gridcolor=A3,subgridcolor=A3,gridlabels=0pt](0,0)(13,4)
\psaxes[linewidth=0.8pt,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-0.7,-0.7)(12.9,3.9)
  \rput[0](8.5,2.6){\textcolor{red}{$\mathscr{C}_f$}}
   \rput[0](8.5,3.4){\textcolor{blue}{$\mathscr{C}_g$}}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=5000,linewidth=0.8pt]{0}{12.9}{x^0.5}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=0.8pt]{0}{12.9}{(x+1)^0.5}
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.5pt,linecolor=red,fillcolor=red](3,1.732){.05} \uput[d](3,1.732){\textcolor{red}{$F$}}
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.5pt,linecolor=blue,fillcolor=blue](3,2){.05}   \uput[u](3,2){\textcolor{blue}{$G$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $FG=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$.
\item Soit la fonction $d:x\mapsto FG$.
\begin{enumerate}
\item Conjecturer la limite de $d$ en $+\infty$.
\item Démontrer que, pour tout réel $x>0$ :
\[h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}.\]
\item Démontrer que, pour tout réel $x>0$ :
\[0\leqslant h(x)\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.\]
\item En déduire la limite de $h$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

