\begin{exercice*}[~\hfill\ExerciceRefMethode{meth_limite_fonction}]\label{exo_meth_limite_fonction}
Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition $\mathcal{D}$.
\begin{enumerate}
\item \begin{tabular}{@{}p{3cm}}$f(x)=x^3+3x^2-6$\end{tabular} $\mathcal{D}=]-\infty~;~+\infty[$
\item \begin{tabular}{@{}p{3cm}}$f(x)=\dfrac{1}{x+2}$\end{tabular} $\mathcal{D}=]-\infty~;~-2[\,\cup\,]-2~;~+\infty[$
\item \begin{tabular}{@{}p{3cm}}$f(x)=1-\dfrac{1}{x-1}$\end{tabular} $\mathcal{D}=]-\infty~;~1[\,\cup\,]1~;~+\infty[$
\item \begin{tabular}{@{}p{3cm}}$f(x)=\dfrac{1-2x}{\left(x-2\right)^2}$\end{tabular} $\mathcal{D}=]-\infty~;~2[\,\cup\,]2~;~+\infty[$
\end{enumerate}
 \begin{corrige}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^3+3x^2-6=x^3\left(1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{6}{x^2}\right)$. Or, $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{6}{x^2}\right)=1$.
Donc, $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ 
\item $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x+2)=-\infty$ ; $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x+2)=+\infty$ ; $\displaystyle\lim_{\substack{x\to -2\\ x<-2}} (x+2)=0<0$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\to -2\\ x>-2}} (x+2)=0>0$. Donc, par inverse, on a : $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ ; $\displaystyle\lim_{\substack{x\to -2\\ x<-2}}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\to -2\\ x>-2}}f(x)=+\infty$.
\item Pour $\dfrac{1}{x-1}$, on procède comme précédemment. On a : $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x-1}=0$ ; $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1}}\dfrac{1}{x-1}=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x>1}}\dfrac{1}{x-1}=+\infty$.\par
    Ensuite, par opposé et somme avec 1, on a : $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1$ ; $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1}}f(x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x>1}}f(x)=-\infty$.
\item En développant le dénominateur et en divisant numérateur et dénominateur par $x^2$, on a :\par
$f(x)=\dfrac{\tfrac{1}{x^2}-\tfrac{2}{x}}{1-\tfrac{4}{x}+\tfrac{4}{x^2}}$. Or, $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x}\right)=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{x^2}\right)=1$. Donc, par quotient, on a : $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}=0$.\par
Par ailleurs, $\displaystyle\lim_{x\to2}\left(1-2x\right)=-3$ et  $\displaystyle\lim_{x\to2}\left(x-2\right)^2=0>0$. Donc, par quotient, on a $\displaystyle\lim_{x\to2}=-\infty$.
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice*}

