\begin{exercice*}
Soit $f:x\mapsto x^3$ la fonction cube.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $\pm\infty$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Justifier l'unique solution des équations suivantes :
\begin{colenumerate}{2}
\item $f(x)=4$ sur $[1,5~;~1,6]$
\item $f(x)=-3$ sur $\mathbb{R}$
\end{colenumerate}
\end{enumerate}
 \begin{corrige}
   \begin{enumerate}
   \item $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty$ et  $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty$.
\item
\begin{tikzpicture}[general, scale=0.8]
  \tkzTabInit[lgt=0.8, espcl=1.8, color, colorC=H4, colorV=H4, colorL=H4, colorT=A4, lw=0.3mm]
  {$x$ / 1, $f$ / 2}
  { $-\infty$,   $+\infty$ }
  \tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$+\infty$}
 \end{tikzpicture}
\item \begin{enumerate}
\item $f$ est continue et strictement croissante sur $[1,5~;~1,6]$.
De plus, $f(1,5)=1,5^3=3,375<4$ et $f(1,6)=1,6^3=4,096>4$. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel dans $[1,5~;~1,6]$ tel que $f(x)=4$.
\item $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. De plus, $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty$ et  $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty$. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel tel que $f(x)=-3$.
\end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice*}

