\begin{exercice*}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[f(x)=\left\{\begin{array}{@{}cl@{}}
\sqrt{x^2+1}-1 & \text{si~} x\in\mathbb{R}\setminus\{1\} \\
\alpha &  \text{si~} x=1 \\
\end{array}\right.\]
de graphe $\mathscr{C}$ dans le repère ci-dessous où \textcolor{B2}{$\bullet$}  indique un point qui est sur $\mathscr{C}$ et \textcolor{B2}{$\boldsymbol{\circ}$} un point qui n'est pas sur $\mathscr{C}$.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.2,-0.5)(3.2,2.55)
\psgrid[linewidth=0.5pt,subgriddiv=1,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(-4,0)(4,3)
\psaxes[comma,labelFontSize=\normalsize,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-3.2,-0.5)(3.2,2.55)
\psplot[linecolor=B2,plotpoints=5000,linewidth=1pt]{-3.2}{3.2}{sqrt(x^2+1)-1}
\rput(1,1.717){\textcolor{B2}{$\bullet$}}
\rput(1,0.414){\textcolor{Blanc}{$\bullet$}}
\rput(1,0.414){\textcolor{B2}{$\boldsymbol{\circ}$}}
\rput[0](-2.5,1.3){$\textcolor{B2}{\mathscr{C}}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$.
\item Donner les valeurs de $f(1)$ et des limites de $f$ en 1 à gauche et à droite.
\item Que doit valoir $\alpha$ pour que $f$ soit continue ?
\end{enumerate}
 \begin{corrige}
   \begin{enumerate}
\item Pour tracer $\mathscr{C}$, on doit lever le crayon pour faire le point de coordonnées $(1~;~\alpha)$ donc $f$ n'est pas continue en 1.
\item $f(1)=\alpha$ ;  $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1}}f(x)=\lim_{\substack{x\to 1\\ x>1}}f(x)=\sqrt{2}-1$.
\item $f$ est continue si $\alpha=\sqrt{2}-1$.
  \end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice*}

