\begin{exercice*}
Soit un réel $x>0$. Est-il vrai ou faux que :
\begin{enumerate}
\item $f(x)\geqslant x^2 \Rightarrow \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ ?
\item $f(x)\leqslant \dfrac{1}{x} \Rightarrow \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ ?
\item $1\leqslant f(x)\leqslant x+1\Rightarrow \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x^2}=0$ ?
\end{enumerate}
 \begin{corrige}
   \begin{enumerate}
\item Vrai. Pour $x>0$, $f(x)\geqslant x^2$ et $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty$ donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
\item Fausse. Contre-exemple : pour $x>0$, on a $f(x)=-x\leqslant\dfrac{1}{x}$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.
\item Vrai. Pour $x>0$, on a  $1\leqslant f(x)\leqslant x+1\Rightarrow \dfrac{1}{x^2}\leqslant \dfrac{f(x)}{x^2}\leqslant \dfrac{x+1}{x^2}\Rightarrow  \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x^2}=0$ par le théorème des gendarmes.
  \end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice*}
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