\begin{exercice}
Soit la fonction $f:x\mapsto\dfrac{x}{x^2+1}$ définie sur $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
\item Justifier qu'on a le tableau de variation :

\vspace{-2mm}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general, scale=1]
  \tkzTabInit[lgt=0.8, espcl=1.8, color, colorC=H4, colorV=H4, colorL=H4, colorT=A4, lw=0.3mm]
  {$x$ / 1, $f$ / 2}
  { $-\infty$, $-1$,  $1$, $+\infty$ }
  \tkzTabVar{+/,-/$-\tfrac{1}{2}$,+/$\tfrac{1}{2}$,-/}
 \end{tikzpicture}
\end{center}

\vspace{-2mm}

\item Quelles semblent être les limites de $f$ en $\pm\infty$  ?
\item Résoudre l'équation $f(x)=0$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\begin{corrige}
\begin{enumerate}
\item $f$ est une fraction rationnelle définie sur $\mathbb{R}$ donc dérivable sur $\mathbb{R}$.\par
$f'(x)=\dfrac{1\times(x^2+1)-x\times2x}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{1-x^2}{\left(x^2+1\right)^2}$.\par
$f'(x)$ est du signe de $1-x^2$ qui est un polynôme de degré 2, positif entre ses racines qui sont $-1$ et $1$.\par
On en déduit les variations du tableau. De plus, $f(-1)=-\dfrac{1}{2}$ et $f(1)=\dfrac{1}{2}$.
\item Il semble que $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$.
\item $f(x)=0\Leftrightarrow \dfrac{x}{x^2+1}=0\Leftrightarrow x=0$. Donc, l'équation $f(x)=0$ n'a que 0 comme solution dans $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice}

