
    \begin{exercice}
Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x+1}$.
\begin{enumerate}\item Soit un réel $h>-1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h+1}+1}$.
\item Calculer $\displaystyle\lim_{h\to0}\left(\sqrt{h+1}+1\right)$.
\item $f$ est-elle dérivable en 0 ? Si oui, donner $f'(0)$.
\end{enumerate}
\item Étudier  de la même façon la dérivabilité de $f$ en $-1$.
\end{enumerate}
\begin{corrige}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{\sqrt{h+1}-1}{h}=\dfrac{h+1-1}{h(\sqrt{h+1}+1)}=\dfrac{1}{\sqrt{h+1}+1}$.
\item $\displaystyle\lim_{h\to0}(\sqrt{h+1}+1)=2$.
\item $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{1}{2}$ donc $f$ est dérivable en 0 et $f'(0)=\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
\item $\dfrac{f(h-1)-f(-1)}{h}=\dfrac{\sqrt{h-1+1}-\sqrt{0}}{h}=\dfrac{\sqrt{h}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}$.\par
Or, $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{1}{\sqrt{h}}=+\infty$ donc $f$ n'est pas dérivable en $-1$.
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice}

