\begin{exercice}
Soit $S_n=\dfrac{n}{n^2+1}+\dfrac{n}{n^2+2}+\ldots +\dfrac{n}{n^2+n}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier $n\geqslant1$ :
\[\dfrac{n}{n+1}\leqslant S_n \leqslant \dfrac{n^2}{n^2+1}.\]
\item En déduire la limite de la suite $(S_n)_{n\geqslant1}$.
\end{enumerate}
\begin{corrige}
\begin{enumerate}
\item Les $n$ termes de $S_n$ sont dans l'ordre décroissant donc chacun d'eux est supérieur au dernier et inférieur au premier. Ainsi :\par
$n\times\dfrac{n}{n^2+n}\leqslant S_n\leqslant n\times\dfrac{n}{n^2+1}$ d'où\par
$\dfrac{n}{n+1}\leqslant S_n\leqslant \dfrac{n^2}{n+1}$
\item $\lim \dfrac{n}{n+1}=\lim\dfrac{1}{1+\tfrac{1}{n}}=1$\par
$\lim \dfrac{n^2}{n^2+1}=\lim\dfrac{1}{1+\tfrac{1}{n^2}}=1$\par
D'après le théorème des gendarmes, $\lim S_n=1$.
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice}

