\begin{exercice}
Soit deux réels $a>0$ et $b>0$. Étudier  :
\begin{colenumerate}{2}
\item $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1-a^n}{1+a^n}$.
\item $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(a^n-b^n\right)$.
\end{colenumerate}
\begin{corrige}
\begin{enumerate}
\item \textbullet{} Si $0<a<1$, alors $\lim a^n=+\infty$ et
  $\lim\dfrac{1-a^n}{1+a^n}=1$.
\begin{itemize}
\item Si $a>1$, alors $\lim a^n=+\infty$ et $\lim a^{-n}=0$.\par
Ainsi, $\lim \dfrac{1-a^n}{1+a^n}=\lim \dfrac{a^{-n}-1}{a^{-n}+1}=-1$.
\end{itemize}
\item
Si $a<1$, $\lim a^n=0$ ; si $a=1$, $\lim a^n=1$ et  si $a>1$, $\lim a^n=+\infty$ (résultats similaires pour $b$).
\par
Si on pose $u_n=a_n-b_n$, on a, par différence :
\begin{itemize}
\item Si $a=1$ et $b=1$, $\lim u_n=0$
\item Si $a<1$ et $b<1$, $\lim u_n=0$
\item Si $a=1$ et $b<1$, $\lim u_n=1$
\item Si $a<1$ et $b=1$, $\lim u_n=-1$
\item Si $a>1$ et $b\leqslant1$, $\lim u_n=+\infty$
\item Si $a\leqslant1$ et $b>1$, $\lim u_n=-\infty$
\end{itemize}
Le cas $a>1$ et $b>1$ est indéterminé. Mais, $a^n-b^n=b^n\left(1-\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\right)$.
Ainsi :
\begin{itemize}
\item Si $1<a<b$, $\lim \left(\dfrac{a}{b}\right)^n=0$ et $\lim u_n=+\infty$
\item Si $1<b<a$, $\lim \left(\dfrac{a}{b}\right)^n=+\infty$ et $\lim u_n=+\infty$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice}

