\begin{exercice}
Soit $f$ et $g$ les fonctions définies par :
\[f(x)=\dfrac{1}{3}\left(x^2+x+\dfrac{1}{x}\right) \text{~~et~~} g(x)=2x^3+x^2-1.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x\neq0$, $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.
    \item Étudier les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une racine unique $\alpha$ dans l'intervalle $]0~;~1[$ (on ne cherchera pas à calculer $\alpha$).
\item En déduire le signe de $g(x)$.
\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Dans un repère, soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ et les points $I\left(-1~;~-\dfrac{1}{3}\right)$ et
$J(1~;~1)$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la droite $(IJ)$ est tangente à $\mathscr{C}$ en $J$.
\item Déterminer une équation de la tangente $(\mathcal{T})$ à $\mathscr{C}$ en $I$.
\item Étudier la position de $\mathscr{C}$ par rapport à $(\mathcal{T})$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

