\begin{exercice}[« La science est l'asymptote de la vérité »\footnote{« La science est l’asymptote de la vérité. Elle approche sans cesse et ne touche jamais. » d'après Hugo, Victor, \emph{William Shakspeare}.}]
Rudy a remarqué qu'« \emph{une asymptote, c'est comme une tangente à l'infini} ».
Son professeur  digresse alors.
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction homographique propre :
\[f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\]
définie sur $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$ avec $c\neq0$ et $ad-bc\neq0$.\par
« \emph{Monsieur, pourquoi "homographique \textbf{propre}" ?} ».\par
De quel type serait la fonction $f$ :
\begin{colitemize}{2}
\item pour $c=0$ ? \item pour $ad-bc=0$ ?
\end{colitemize}
\item Montrez que :
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{a}{c}-\dfrac{ad-bc}{c(cx+d)}$ pour $x\in\mathcal{D}$. \label{homo2a}
\item $f(x)=\left(\dfrac{a+bx^{-1}}{c+dx^{-1}}\right)$ pour $x\in\mathcal{D}^*$. \label{homo2b}
\item $f'(x)=\dfrac{ad-bc}{\left(cx+d\right)^2}$ pour $x\in\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\item Déduisez de \RefItem{homo2a} et \RefItem{homo2b} les équations des asymptotes à la courbe représentative de $f$ aux bornes de $\mathcal{D}$. \label{homo3}
\item Calculez les limites suivantes :\label{homo4}
\begin{colenumerate}{2}
\item $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f'(x)$  \item $\displaystyle\lim_{x\to -d/c}f'(x)$
\end{colenumerate}
« \emph{Plus ou moins l'infini, vous n'en êtes pas sûr ?} ».\par
Le professeur précise qu'il veut les limites de $f'(x)$ en $+\infty$ et $-\infty$.
\item Rapprochez les résultats du  \RefItem{homo4} de celui du \RefItem{homo3}.\par
Concluez à propos de la remarque de Rudy.
\end{enumerate}
\end{exercice}

