\begin{exercice}
Soit $\varphi$ la fonction  définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[\varphi(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x^2+1}\]
représentée par  $\mathscr{C}$ dans le repère suivant.
\begin{center}
\psset{xunit=.666cm,yunit=.666cm,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-5.3,-0.75)(5.3,5.3)
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=0.5pt,gridcolor=A3,subgridcolor=A3,gridlabels=0pt](-6,0)(6,6)
\psaxes[linewidth=0.8pt,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-5.3,-0.3)(5.3,5.3)
%\psaxes[linewidth=0.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
  \rput[0](-4.5,2.5){\textcolor{B2}{$\mathscr{C}$}}
\psplot[linecolor=B2,plotpoints=5000,linewidth=0.8pt]{-5.3}{5.3}{(3*x^2+4*x+3)/(x^2+1)}
\uput[u](-1,1){$A$} \pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](-1,1){.07}
\uput[r](0,3){$I$} \pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](0,3){.07}
\uput[d](1,5){$A'$} \pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](1,5){.07}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement les réels $a$, $b$ et $c$.
\item Montrer que $\mathscr{C}$ admet une asymptote horizontale.
\item Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que :
\[f(x)=\alpha+\dfrac{\beta x}{x^2+1}.\]
\item Dresser le tableau de variation complet de $f$.
\item Déterminer les positions relatives de $\mathscr{C}$ et $\Delta$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x)+f(-x)=6$.
\item Que peut-on en déduire pour $\mathscr{C}$ ?
\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=f(|x|)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $-\infty$.
\item Expliquer comment on peut obtenir la courbe \mbox{représentative} de $g$ à partir de $\mathscr{C}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

