\begin{activite}[Composée de deux fonctions]

\begin{partie}[De plusieurs fonctions... à une seule]
On considère les deux fonctions $u$ et $v$ suivantes :
\[
\begin{array}{ccccc}
u & : & \mathbb{R} & \to     & \mathbb{R} \\
  &   & x           & \mapsto & 2x-3 \\
\end{array}
\qquad
\text{et}
\qquad
\begin{array}{ccccc}
v & : & \mathbb{R} & \to     & \mathbb{R} \\
  &   & x           & \mapsto & x^2 \\
\end{array}
\]
À partir de ces deux fonctions, on considère l'enchaînement suivant :
\[
\begin{array}{ccccc}
	\mathbb{R}	&	\to		&	\mathbb{R}	&	\to		&	\mathbb{R}\\
  		x		&   \mapsto	& 	u(x) = y	&	\mapsto	&		v(y)\\
\end{array}
\]
En notant $f$ cet enchaînement, on a $f(x) = v(y)$. On appelle $f$ la composée de $u$ suivie de $v$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item Calculer l'image de $1$ puis de $4$ par la fonction $f$.
  \item Traiter le cas général et donner l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
 \end{enumerate}

 \item \begin{enumerate}
  \item Parmi $u$ et $v$, quelle fonction a été utilisée en premier ? en dernier ?

  \item Parmi les deux propositions suivantes, en déduire celle qui correspond à $f(x)$ :
  \begin{colitemize}{2}
   \item $u(v(x))$ ;
   \item $v(u(x))$.
  \end{colitemize}

  \item Trouver un moyen mnémotechnique logique de se rappeler de la bonne notation.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}[D'une fonction... à plusieurs]
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions, et que $f$ est la composée de $u$ suivie de $v$, on note $f = v \circ u$ (qui se prononce \og{} $v$ rond $u$ \fg{}), c'est-à-dire, pour tout $x \in \mathscr{D}_f$, $f(x) = v(u(x))$.

On donne les fonctions de référence $a$, $b$, $c$ et $d$ définies par :
\[
a(x) = 2x + 3 \qquad b(x) = x^2 \qquad c(x) = \sqrt{x} \qquad d(x) = \dfrac{1}{x}.
\]
Décrire chacune des fonctions suivantes comme composées des fonctions $a$, $b$, $c$ et $d$. On ne se préoccupera pas ici des ensembles de définition.
\begin{colenumerate}{3}
\item $f : x \mapsto 2x^2 + 3$
 \item $g : x \mapsto (2x+3)^2$
 \item $h : x \mapsto \sqrt{2x+3}$
 \item $i : x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$
 \item $j : x \mapsto \dfrac{1}{(2x+3)^2}$
 \item $k : x \mapsto \left( \dfrac{2}{x}+3 \right)^2$
\end{colenumerate}
\end{partie}

\begin{partie}[Avec les ensembles de définition]
Soit $u : x \mapsto x+1$ définie sur $\mathbb{R}$ et $v : x \mapsto \sqrt{x}$ définie sur $\mathbb{R}^+$.\\
On pose $f = v \circ u$ et $g = u \circ v$.
\begin{enumerate}
 \item Donner les expressions de $f(x)$ et de $g(x)$.
 \item \begin{enumerate}
  \item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
  \item Coïncide-t-il avec celui de $u$ ?
 \end{enumerate}
 \item Mêmes questions avec les fonctions $g$ et $v$.


\end{enumerate}
\end{partie}
\end{activite}

