\begin{activite}[Continuité d'une fonction]

\begin{partie}[Approche graphique]
Aux XVII\up{e} et XVIII\up{e} siècles, la notion de fonction continue sur un intervalle $I$ était celle d'une fonction dont on pouvait tracer la courbe représentative sur $I$ sans lever le crayon.
\begin{enumerate}
 \item Dans un repère, représenter graphiquement chacune des fonctions suivantes puis, à l'aide de la notion décrite ci-dessus, dire si elles sont continues sur leur ensemble de définition.
 \begin{enumerate}
 \item $f$ définie sur $[-1\,; 2]$ par $f(x) = x^2$.
 \item $g$ définie sur $]0\,; 1]$ par $g(x) = \dfrac{1}{x}$.
 \item $u$ définie sur $[0\,; 2]$ par $u(x) = x$ si $x \leqslant 1$ et $u(x) = 2-x$ si $x>1$.
 \item $v$ définie sur $[0\,; 2]$ par $v(x) = 1-x$ si $x < 1$ et $v(x) = x$ si $x \geqslant 1$.
 \item $E$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par $E(x) = \lfloor x \rfloor$, où $\lfloor x \rfloor$ désigne la partie entière d'un réel $x$. Par exemple, $\lfloor 2,7 \rfloor = 2$, $\lfloor 0,99 \rfloor = 0$, $\lfloor 1 \rfloor = 1$, etc.\\
 Cette fonction n'étant pas usuelle, on donne ci-dessous sa représentation graphique sur $[0\,;4]$ :
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[general, xscale=1, yscale=1,font=\fontsize{9}{10.5}\selectfont]
   \draw [quadrillage] (-1,-1) grid (4,4);
   \draw[->] (-1,0)--(4,0);
   \draw[->] (0,-1)--(0,4);
   \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$0$};
   \draw[color=black] (1,-0.1) node[below] {$1$};
   \draw[color=black] (0,1) node[left] {$1$};
   \foreach \i in {0,...,3} {
   	\draw[domain=\i:\i+1, color=B1, smooth, epais] plot(\x,{\i});
   	\draw[domain=\i+0.99:\i+1, color=B1, smooth, shorten >=-2pt,{-[}] plot(\x,{\i});
   	\draw[color=B1] (\i,\i) node {$\bullet$};
   }
   \draw[color=B1] (4,4) node {$\bullet$};
   \draw (1,1.5) [color=B1] node {{\boldmath $y = \lfloor x \rfloor$}};
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
\end{enumerate}
 \item Pour chacune des fonctions, donner les éventuels réels en lesquels il y a discontinuité.
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}[Étude algébrique]
Au début du XIX\up{e} siècle, Bolzano et Cauchy ont défini une approche plus algébrique de la notion de continuité en termes presque modernes, que l'on se propose d'explorer ci-dessous.\\
On reprend pour cela les fonctions $u$ et $v$ de la partie précédente.
\begin{enumerate}
 \item D'après les définitions (seulement) des fonctions $u$ et $v$, en quel réel $x_0$ y a-t-il a priori un problème de continuité ? Justifier.

 \item \begin{enumerate}
  \item Calculer les deux limites suivantes et les comparer avec la valeur de $u(x_0)$.
  \[
  \displaystyle\lim_{\substack{x\to x_0\\ x<x_0}}u(x)
  \qquad
  \text{et}
  \qquad
  \displaystyle\lim_{\substack{x\to x_0\\ x>x_0}}u(x)
  \]
  \item Même question avec la fonction $v$.
  \item En sachant que, graphiquement, la fonction $u$ est continue en $x_0$ et que la fonction $v$ ne l'est pas, donner une définition de la continuité d'une fonction en un réel $x_0$.
 \end{enumerate}

 \item Représenter graphiquement une fonction $f$ telle qu'en un réel $x_0$ (que l'on choisira), on ait :
 \[
  \displaystyle\lim_{\substack{x\to x_0\\ x<x_0}}f(x)
  \neq
 \displaystyle\lim_{\substack{x\to x_0\\ x>x_0}} f(x)
  \neq
  f(x_0)
 \]
\end{enumerate}
\end{partie}
\vspace{-4em}
\end{activite}

