\begin{activite}[Notion de limite]
On considère la fonction suivante :
\[
\begin{array}{ccccc}
f & : & ]0\,; +\infty[ & \to     & ]0\,; +\infty[ \\
  &   & x           & \mapsto & \dfrac{1}{x} \\
\end{array}
\]

\begin{partie}[D'une approche quantitative...]
\vspace{-1.5em}
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f(x)$ pour $x = 10$ ; 100 ; 1~000 ; $10^{4}$ ; $10^{5}$ ; etc.
 \item Que peut-on conjecturer quant à $f(x)$ lorsque $x \to +\infty$ ?
 \item De la question précédente, déduire le complètement des notations équivalentes suivantes :
  \[
  f(x) \to \ldots \text{ lorsque } x \to \ldots
  \quad
  \iff
  \quad
  \lim_{x \to \ldots} f(x) = \ldots
  \]
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}[... à une étude qualitative]
On vient de remarquer la propriété suivante, que l'on va par la suite chercher à démontrer :
\begin{center}
\og $f(x)$ prend des valeurs aussi proches de 0 que l'on veut\\dès que\\$x$ est suffisamment grand. \fg{}
\end{center}
\vspace{-1em}
\begin{enumerate}
 \item Dans cette proposition, quelle est l'hypothèse ? la conclusion ?
 \item On considère la locution \og $x$ est suffisamment grand \fg{}. Parmi les quatre locutions données ci-dessous, deux la traduisent : lesquelles ?
  \begin{colitemize}{2}
   \item $x$ est plus grand qu'un certain réel
   \item $x$ est plus grand que tout réel
   \item il existe un réel $A$ tel que $x>A$
   \item pour tout réel $A$, $x>A$
  \end{colitemize}

 \item Même consigne avec la locution \og $f(x)$ prend des valeurs aussi proches de 0 que l'on veut\fg{}. On notera $\varepsilon > 0$ le réel utilisé.

 \item Détermination graphique de $A$.
 \begin{enumerate}
  \item Ci-dessous, on a représenté graphiquement la fonction inverse sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$ et on fixe $\varepsilon > 0$, un réel quelconque (de préférence petit).\\
  Sur l'axe des abscisses, représenter le plus petit réel $A$ à partir duquel on a $f(x) < \varepsilon$.
  \vspace{0.5em}
  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[general, xscale=0.8, yscale=1.6,font=\fontsize{9}{10.5}\selectfont]
   \draw [quadrillage] (-1,-1) grid (10,2);
   \draw (-1,0)--(10,0);
   \draw (0,-1)--(0,2);
   \draw[color=black] (0,0) node[below left] {$O$};
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(1,0);
   \draw[ultra thick, ->] (0,0)--(0,1);
   \draw[color=black] (0.5,0) node[below] {$\overrightarrow{i}$};
   \draw[color=black] (0,0.5) node[left] {$\overrightarrow{j}$};
   \draw[domain=0.5:1, color=B1, smooth, epais] plot(\x,{1/\x});
   \draw[domain=1:2, color=B1, smooth, epais] plot(\x,{1/\x});
   \draw[domain=2:10, color=B1, smooth, epais] plot(\x,{1/\x});
   \draw (1,1.5) [color=B1] node[right] {{\boldmath $y = \dfrac{1}{x}$}};
   \draw[domain=-0.5:9.5, color=J1, smooth, epais] plot(\x,{0.3});
   \draw (8,0.5) [color=J1] node[right] {{\boldmath $y = \varepsilon$}};
  \end{tikzpicture}
  \end{center}

  \item Pourquoi peut-on affirmer que, dès que $f(x) < \varepsilon$ pour un certain $x$, alors $f(t) < \varepsilon$ pour tout $t \geqslant x$ ?
 \end{enumerate}

  \item Détermination algébrique de $A$.\\
  Fixons $\varepsilon > 0$. En résolvant l'inéquation $f(x) < \varepsilon$, déterminer le plus petit réel $A$ (que l'on exprimera en fonction de $\varepsilon$) tel que, si $x>A$, alors $f(x) < \varepsilon$.
\end{enumerate}
\end{partie}
\vspace{-4em}
\end{activite}

