\begin{TP}[Méthode de   dichotomie\hfill \algo]

\partie{Application : approcher le nombre d'or}

Intéressons-nous au nombre d'or, solution positive de l'équation :
\[\text{(E)} \quad x^2-x-1=0\]
\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f:x\mapsto x^2-x-1$ qu'on étudie sur $[1~;~2]$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $f$ est continue sur $[1~;~2]$.
\item Dresser le tableau de variation complet de $f$ sur $[1~;~2]$.
\item Montrer qu'il existe une solution unique $\varphi$ à l'équation $f(x)=0$.
\end{enumerate}
\item On applique l'algorithme de dichotomie à $f$ avec $a=1$, $b=2$ et $\varepsilon =10^{-5}$.
\begin{enumerate}
\item Justifier qu'après le premier pas,  $\varphi\in[1,5~;~2]$ et, qu'après le second, $\varphi\in[1,5~;~1,75]$.\par
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\psset{xunit=6cm,yunit=1.5cm,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(0.8,-1.2)(2.2,1.1)
\psgrid[subgriddiv=10,linewidth=0.5pt,gridcolor=A3,subgridcolor=A3,gridlabels=0pt](1,-1)(2,1)
\psaxes[comma,Ox=1,linewidth=0.8pt,Dx=0.1,Dy=1,ticksize=-2pt]{->}(1,0)(1,-1)(2.05,1.1)
\psplot[linecolor=B2,plotpoints=5000,linewidth=0.8pt]{1}{1.5}{x^2-x-1}
\psplot[linecolor=H1!60!black,plotpoints=5000,linewidth=0.8pt]{1.5}{2}{x^2-x-1}
\end{pspicture*}
\end{minipage}\hspace{1cm}
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{xunit=6cm,yunit=1.5cm,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(1.3,-1.2)(2.2,1.1)
%\psgrid[subgriddiv=20,linewidth=0.5pt,gridcolor=A3,subgridcolor=A3,gridlabels=0pt](1.5,-1)(2,1)
\multido{\dx=1.50\psxunit+0.05\psxunit}{11}{%
  \psline[linewidth=0.5pt,linecolor=A3](\dx,-1)(\dx,1)
}
\multido{\dy=-1.00\psyunit+0.05\psyunit}{41}{%
  \psline[linewidth=0.5pt,linecolor=A3](1.5,\dy)(2.0,\dy)
}
\psaxes[comma,Ox=1.5,linewidth=0.8pt,Dx=0.1,Dy=1,ticksize=-2pt]{->}(1.5,0)(1.5,-1)(2.05,1.1)
\psplot[linecolor=H1!60!black,plotpoints=5000,linewidth=0.8pt]{1.5}{1.75}{x^2-x-1}
\psplot[linecolor=B2,plotpoints=5000,linewidth=0.8pt]{1.75}{2}{x^2-x-1}
\end{pspicture*} 
\end{minipage}
\item À l'aide d'AlgoBox ou d'un autre logiciel, programmer l'algorithme de dichotomie pour qu'il affiche les encadrements successifs de $\varphi$ et leurs précisions.
\begin{center}
\begin{tabular}{c@{\,}c@{\,}c|c}
1,5 & $<\varphi<$ &   2  &  0,5 \\
1,5 & $<\varphi<$ &   1,75  &  0,25 \\
 & \vdots  &     & \vdots \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\item On définit  la suite $(p_n)_{n\geqslant0}$ par $p_0=1$ et $p_{n+1}=\dfrac{p_n}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Que représente $(p_n)$ ? Justifier qu'elle est décroissante et exprimer $p_n$ en fonction de $n$.
\item Écrire puis programmer un algorithme qui prend en entrée $\varepsilon$ et qui retourne le plus petit entier $n$ tel que $p_n<\varepsilon$ ?
\item À l'aide du programme, déterminer le plus petit entier $n$ tel que  $p_n$ soit inférieur à :
\begin{colitemize}{5}
\item $0,1$ \item $0,01$ \item $0,001$ \item $0,000\,1$ \item $0,000\,01$
\end{colitemize}
Commenter l'efficacité de l'algorithme de dichotomie à partir des résultats obtenus.  
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{TP} 

