\begin{enigme}[Des discontinuités... en continu !]


Soit $x$ et $y$ deux réels tels que $x<y$.\\
Définissons la suite  $(d_n)_{n\geqslant0}$ telle que $d_n=\dfrac{\lfloor10^n y\rfloor}{10^n}$ où $\lfloor a\rfloor$ désigne la partie entière de $a$.\\
\begin{enumerate}
\item À quel ensemble les nombres $d_n$  appartiennent-ils ? \hspace{1cm}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{colitemize}{5}
\item $\mathbb{N}$ ? \item $\mathbb{Z}$ ? \item $\mathbb{D}$ ? \item $\mathbb{Q}$ ? \item $\mathbb{R}$ ?
\end{colitemize}
\end{minipage}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer  que pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a l'encadrement $\dfrac{10^ny-1}{10^n}< d_n\leqslant y$.
\item En déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}d_n$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que, quel que soit $\varepsilon>0$, il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout $n\geqslant N$, $|d_n-y|< \varepsilon$.
\item En posant $\varepsilon=y-x$, en déduire que $x\leqslant d_N \leqslant y$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{minipage}{1\linewidth}
\begin{cadre}[A1][A4]
On vient de montrer qu'entre deux réels, il existe toujours un décimal et donc toujours un rationnel.\\
On dit que l'ensemble des rationnels $\mathbb{Q}$ est \textbf{dense} dans l'ensemble des réels $\mathbb{R}$.
 \end{cadre}
\end{minipage}
\end{center}

La \textbf{fonction de Dirichlet} D et la \textbf{fonction de Thomae} T sont deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par  :
\[\text{D}(x)=\left\{\begin{matrix} 1  &  \text{si~} x\in\mathbb{Q} \\ 0  & \text{si~} x\notin\mathbb{Q} \end{matrix}\right.
\text{~~et~~} \text{T}(x)=\left\{\begin{array}{@{}ll} 0  & \text{si~} x\notin\mathbb{Q} \\ 1 & \text{si~} x=0 \\ \dfrac{1}{q} & \text{si~} x=\dfrac{p}{q} \text{~est une fraction irréductible}\end{array}\right.\]
Introduite par Dirichlet\footnote{Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859), mathématicien allemand}  en 1829, la fonction D est discontinue partout ce que le résultat établi précédemment montre. Cette fonction est appelée aussi \textbf{fonction indicatrice des rationnels}.\\
Introduite par Thomae\footnote{Carl Johannes Thomae (1840–1921), mathématicien allemand} en 1875, la fonction T est continue en tout nombre irrationnel mais  discontinue en tout nombre rationnel. Cette fonction est appelée aussi la \textbf{fonction popcorn} (voir sa représentation ci-dessous !).
\begin{center}
% \psset{xunit=5cm,yunit=5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
% \begin{pspicture*}(-0.2,-0.1)(2.05,1.05)
% \psgrid[xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,linewidth=0.5pt,subgriddiv=1,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(0,0)(21,10)
% \psThomae[dotstyle=o,dotsize=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=B2,linecolor=B2](0,2.05)
% \psaxes[comma,labelFontSize=\normalsize,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-0.05,-0.05)(2.05,1.05)
% \psdots[dotstyle=o,dotsize=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=B2,linecolor=B2](0,1)
% \end{pspicture*}

\includegraphics[scale=.45]{Capturepage82}

\end{center}




\end{enigme} 
