\begin{enigme}[Axiomatisons !]
Les nombres entiers naturels sont connus et utilisés depuis l'Antiquité, d'abord pour dénombrer puis comme objet mathématique abstrait propre.

\begin{minipage}{0.70\linewidth}
  Au XIX\ieme{} siècle, le mathématicien italien Giuseppe Peano (1858-1932) propose une définition axiomatique des entiers naturels en cinq axiomes :
\begin{itemize}
\item L'élément appelé zéro et noté  $0$ est un entier naturel.
\item Tout entier naturel $n$ a un unique successeur noté $s(n)$.
\item Aucun entier naturel n'a $0$ pour successeur.
\item Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
\item Si un ensemble d'entiers naturels contient $0$ et contient le successeur de chacun de ses éléments alors cet ensemble est $\N$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.30\linewidth}
  \begin{center}
  \includegraphics[width=0.65\linewidth]{A1/figures/peano2.eps}
  \end{center}
\end{minipage}
\vspace{0.25\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Mener une recherche documentaire sur la notion d'axiome (Qu'est-ce ? \`A quoi servent-ils ?)
  \item Lequel des axiomes précédents correspond au principe de récurrence ?
  \item Quels noms portent les axiomes \og classiques \fg{} de la géométrie ?
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.70\linewidth}
\begin{cadre}[A1][A4]Le mathématicien austro-américain Kurt Gödel (1906-1978) a démontré le théorème d'incertitude qui dit :

Quel que soit le système d'axiomes dont on se dote pour décrire l'arithmétique des entiers, il existera toujours des propriétés indécidables c'est-à-dire dont on ne peut ni démontrer qu'elles sont vraies, ni démontrer qu'elles sont fausses (dans l'axiomatique des mathématiques modernes, c'est le cas de la célèbre \og hypothèse du continu \fg{} par exemple).\smallskip

Plus simplement : quels que soient les axiomes que l'on se donne, il y aura toujours des énoncés qui ne seront ni vrais, ni faux !
\end{cadre}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.30\linewidth}
  \begin{center}
  \includegraphics[width=0.65\linewidth]{A1/figures/godel.eps}
  \end{center}
\end{minipage}
\end{enigme}

