\begin{exercice}[D'après Bac (Métropole - 2014)\hfill\algo]
On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps.\smallskip

Le but de l'exercice est d'étudier pour différentes hypothèses, l'évolution de cette quantité minute par minute.
\begin{enumerate}
\item On effectue à l'instant $0$ une injection de \uml{10} de médicament. On estime que \upc{20} du médicament est éliminé par minute.

     Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité de médicament, en ml, restant dans le sang au bout de $n$ minutes.
    Ainsi $u_0=10$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ?
		\item Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à \upc{1} de la quantité initiale ?

Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
      \item Une machine effectue à l'instant $0$ une injection de
        \uml{10} de médicament.  On estime que \upc{20} du médicament
        est éliminé par minute.

        Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de \uml{5},
        la machine réinjecte \uml{4} de produit.  Au bout de 15
        minutes, on arrête la machine.\smallskip

        Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ la quantité de
        médicament, en ml, restant dans le sang à la minute~$n$.\smallskip

        L'algorithme suivant donne la quantité restante de médicament
        minute par minute.

\begin{center}
      \begin{oldalgorithme}
Variables :
    $n$ est un entier naturel
    $v$ est un nombre réel
Initialisation :
    Affecter à $v$ la valeur 10
Traitement :
    Pour $n$ allant de 1 à 15
        Affecter à $v$ la valeur $\nombre{0,8}\times\hspace{-0.2cm} v$
        Si $v<5$ alors affecter à\\ {\color{AlgorithmeBkgColor}1}          \,$v$ la valeur $v+4$
        Afficher $v$
    Fin de boucle
\end{oldalgorithme}
      \end{center}
	\begin{enumerate}
        \item Calculer les éléments manquants du tableau\linebreak
          ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour
          $n$\linebreak supérieur ou égal à 0, la quantité restante
          de\linebreak médicament minute par minute obtenue
          avec\linebreak l'algorithme.

\begin{tableau}[c]{\linewidth}{7}\hline
 $n$  & 0 & 1 & 2 &3 &4 &5\\\hline
 $v_n$ &10 &8&\nombre{6,4}&&&\\\hline
\end{tableau}
\begin{tableau}[c]{0.857\linewidth}{6}\hline
 $n$  &6 & 7 & 8 & 9&10  \\\hline
 $v_n$ & &\nombre{8,15} &\nombre{6,52} &\nombre{5,21}&\nombre{8,17}\\\hline
\end{tableau}
\begin{tableau}[c]{0.857\linewidth}{6}\hline
 $n$  &11 & 12 & 13 & 14&15  \\\hline
 $v_n$ &\nombre{6,54} &\nombre{5,23} &\nombre{8,18} &\nombre{6,55}&\nombre{5,24}\\\hline
\end{tableau}

		\item Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l'organisme ?
		\item On souhaite programmer la machine afin qu'elle injecte \uml{2} de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à \uml{6} et qu'elle s'arrête au bout de 30 minutes.\smallskip
		
Recopier l'algorithme précédent en le modifiant pour qu'il affiche la quantité de médicament, en ml, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.
	\end{enumerate}
\item On programme la machine de façon que :
\begin{itemize}
\item à l'instant 0, elle injecte \uml{10} de médicament ;
\item toutes les minutes, elle injecte \uml{1} de médicament.
\end{itemize}\smallskip
On estime que \upc{20} du médicament présent dans le sang est éliminé par minute.\smallskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $w_n$ la quantité de médicament, en ml, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$,  ${w_{n+1}=\nombre{0,8}w_n+1}$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_n=w_n-5$.\smallskip

Démontrer que $(z_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item En déduire l'expression de $w_n$ en fonction de $n$.
		\item Quelle est la limite de la suite $(w_n)$ ?

Quelle interprétation peut-on en donner ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}
