\begin{exercice}[D'après Bac (Antilles-Guyane - 2014)\hfill\algo]
Soit la suite numérique $(u_n)$ définie sur l'ensemble des entiers naturels $\N$ par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n+3 \times 0,5^n$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et, à l'aide d'une calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite $(u_n)$ approchées à $10^{-2}$ près:
\begin{tableau}[c]{\linewidth}{6}\hline
 $n$  & 0 & 1 & 2 &3 &4 \\\hline
 $u_n$ & &&&&\\\hline
\end{tableau}
\begin{tableau}[c]{0.833\linewidth}{5}\hline
 $n$  & 5 & 6 & 7&8 \\\hline
 $u_n$ & & & &\\\hline
\end{tableau}
		\item D'après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite $(u_n)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul on a		
		\[u_n\geqslant \dfrac{15}{4}\times0,5^n.\]
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1}-u_n\leqslant  0$.
		\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item \textit{On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite }$(u_n)$.

Soit $(v_n)$ la suite définie sur $\N$ par ${v_n=u_n-10\times0,5^n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est bien une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$. On précisera le
premier terme de la suite $(v_n)$.
		\item En déduire, que pour tout entier naturel $n$,
\[u_n=-8\times\left(\dfrac{1}{5}\right)^n+10\times 0,5^n.\]

		\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter les lignes (4), (5) et (6) de\linebreak l'algorithme suivant, afin qu'il affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n\leqslant\nombre{0,01}$.
     \begin{center}
      \begin{oldalgorithme}
\textbf{Entrée :} $n$ et $u$ sont des nombres
\textbf{Initialisation :} $n$ prend la valeur 0
                 $u$ prend la valeur 2
\textbf{Traitement : }Tant que \ldots
                $n$ prend la valeur \ldots \hfill
                $u$ prend la valeur \ldots \hfill
             Fin Tant que
\textbf{Sortie : }Afficher $n$
\end{oldalgorithme}
      \end{center}
\end{enumerate}
\end{exercice}

