\begin{exercice}[D'après Bac (Métropole - 2013)]
  Soit la suite numérique $(u_n)$ définie sur $\N$ par $u_0=2$ et pour
  tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1$.
\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Calculer $u_1, u_2, u_3$ et $u_4$. On pourra en donner des
    valeurs approchées à $10^{- 2}$ près.
  \item Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette
    suite.
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$,
    \[u_n\leqslant n+3.\]
  \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$,
    \[u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{3}(n+3-u_n).\]
\item En déduire une validation de la conjecture précédente.
\end{enumerate}
\item On désigne par $(v_n)$ la suite définie sur $\N$ par
  ${v_n=u_n-n}$.
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que la suite $(v_n)$ est bien une suite géométrique de
    raison $\dfrac{2}{3}$.
  \item En déduire que pour tout entier naturel $n$,
    \[u_n=2\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+n.\]
  \item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
  \end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose :
  \[S_{n}=\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+\ldots+u_n\text{ et
  }T_n=\dfrac{S_n}{n^2}.\]
  \begin{enumerate}
  \item Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
  \item Déterminer la limite de la suite $(T_{n})$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

