\section{Suites minorées, majorées, bornées}

\begin{definitions}
\begin{itemize}
\item On dit qu'une suite $(u_n)$ est \MotDefinition[suite majorée]{majorée}{} par un nombre réel $M$ si $u_n\leqslant M$ pour tout $n$.

$M$ est alors un \textbf{majorant} de la suite $(u_n)$.
\item On dit qu'une suite $(u_n)$ est \MotDefinition[suite minorée]{minorée}{} par un nombre réel $m$ si $m\leqslant u_n$ pour tout $n$.

$m$ est alors un \textbf{minorant} de la suite $(u_n)$.
\item Si une suite $(u_n)$ est à la fois majorée et minorée, on dit
  que $(u_n)$ est \MotDefinition[suite bornée]{bornée}{}.
\end{itemize}

~~

\vspace{-1.5\baselineskip}
\end{definitions}

\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{exemples*1}
\begin{colitemize}{2}
\item On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier
  $n\geqslant0$ par $w_n=3+\cos\left(n\right)$ dont la représentation
  graphique est donnée\linebreak ci-dessous.

\vspace{-1.5mm}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,scale=0.6]
% grilles
\draw [quadrillage] (-1,-2) grid (10,6);

% axes
\draw [->,Noir](-1,0) -- (10,0);
\draw [->,Noir](0,-2) -- (0,6);
\draw (1,1pt) -- (1,-2pt) node[anchor=north] {1};
\draw (1pt,1) -- (-2pt,1) node[above left] {1};
\node at (0,0) [below left] {0};
% points
\fill [C1] (0,4) circle (1mm);
\fill [C1] (1,3.54) circle (1mm);
\fill [C1] (2,2.58) circle (1mm);
\fill [C1] (3,2.01) circle (1mm);
\fill [C1] (4,2.35) circle (1mm);
\fill [C1] (5,3.28) circle (1mm);
\fill [C1] (6,3.96) circle (1mm);
\fill [C1] (7,3.75) circle (1mm);
\fill [C1] (8,2.85) circle (1mm);
\fill [C1] (9,2.09) circle (1mm);
\fill [C1] (10,2.16) circle (1mm);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Cette suite semble bornée par $2$ et $4$. Pour le justifier, on utilise un encadrement du cosinus : pour tout entier naturel $n$, on a  ${-1\leqslant \cos\left(n\right) \leqslant 1}$ donc ${2\leqslant 3+\cos\left(n\right) \leqslant 4}$ c'est-à-dire que pour tout entier naturel $n$, on a ${2 \leqslant w_n \leqslant 4}$.
La suite $(w_n)$ est bien bornée car elle est minorée par 2 et majorée par~4.

\item On considère $(r_n)$ la suite définie par $r_0 = 6$ et
  ${r_{n+1} = \sqrt{r_n+4}}$ pour tout entier naturel $n$ dont la
  représentation graphique est donnée ci-dessous.

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}[general,x=0.8cm,y=1.3cm]
\draw[quadrillageNIV2, xstep=0.5, ystep=0.5] (0,0) grid (7,4);

\axeX{0}{7}{0,1,2,4,5,7};
\axeY{0}{4}{0,1,2,3,4};

\draw[smooth,samples=100,domain=0:7,color=J1] plot(\x,{sqrt(\x+4)});
\draw [domain=0:4,color=BleuOuv] plot(\x,{(-0--1*\x)/1});
\draw [Noir,dashed,thin] (6,0)-- (6,3.16)--(3.16,3.16)-- (3.16,2.68)--(2.68,2.68)--(2.68,2.58);
\draw [Noir,dashed,thin](3.16,3.16)-- (3.16,0);
\draw [Noir,dashed,thin](2.68,2.68)-- (2.68,0);
\draw [Noir,dashed,thin](2.58,2.58)-- (2.58,0);
\draw (6,0) node[below,color=F1] {$u_0$};
\draw (3.16,0) node[below,color=F1] {\small$u_1$};
\draw (2.8,0) node[below,color=F1] {\small$u_2$};
\draw (2.45,0) node[below,color=F1] {\small$u_3$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace{-0.5\baselineskip}On peut observer graphiquement (sur l'axe des abscisses) que cette suite semble bornée par $\nombre{2}$ et $6$.

C'est en effet le cas : une démonstration est proposée dans la
question 4 de la\linebreak méthode~3.
\end{colitemize}

~~

\vspace{-1.5\baselineskip}
\end{exemples*1}

\begin{remarques}
\begin{itemize}
\item Quand une suite numérique réelle est majorée, il n'y a pas qu'un seul majorant.

Par exemple, si une suite est majorée par 4 alors elle est aussi majorée par 5.
\item Un majorant ou un minorant est un nombre fixé qui ne dépend pas de la variable $n$.
\end{itemize}
\end{remarques}


