\begin{exercice}[Pizza et escalade]

\partie[Pour Youssef]


Cette année, Youssef a décidé de se mettre au sport. \smallskip

Pour cela, il s'inscrit dans un club où il pratique l'escalade une fois par semaine, ce qui lui fait perdre \upc{0,25} de sa masse par séance.\smallskip

Par ailleurs, son club d'escalade ayant un partenariat avec la pizzeria \og d'à côté \fg, il s'y réunit avec ses amis après chaque entraînement et profite de réductions sur les pizzas et les boissons. Cela a des conséquences : \ug{200} supplémentaires après chaque repas.\smallskip

On note $a_n$ sa masse, en kg, après $n$ semaines (donc après $n$ séances et repas). Comme il pèse \ukg{70} au départ, on a $a_0=70$.
\begin{enumerate}
  \item Calculer $a_1$ et $a_2$. Arrondir au gramme près.
  \item Expliquer pourquoi on a $a_{n+1}=\nombre{0,9975}a_n+\nombre{0,2}$.
  \item Montrer par récurrence que $a_n=80-10\times \nombre{0,9975}^n$.
  \item \begin{enumerate}
          \item Calculer $a_{n+1}-a_n$.
          \item Que peut-on en déduire sur les variations de la suite $(a_n)$ ?
        \end{enumerate}
   \item Calculer la limite de la suite $(a_n)$.

   Que représente concrètement cette valeur ?
\end{enumerate}

\partie[Pour Alban]
 Alban est inscrit au même club d'escalade que Youssef et fréquente la même pizzeria (le tout dans les mêmes conditions pour sa masse) et pèse \ukg{85} au départ.

On note $b_n$ sa masse, en kg, après $n$ semaines et on considère la suite $(c_n)$ définie par $c_n=b_n-80$ pour tout $n\in\N$.
\begin{enumerate}
  \item Montrer que $(c_n)$ est géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
  \item En déduire $c_n$ puis $b_n$ en fonction de $n$.
  \item En déduire la limite de $(b_n)$.
\end{enumerate}

\partie[Conclusion]
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Commenter les résultats des parties A et B.
  \item Au bout de combien d'années Youssef et Alban auront-ils moins d'un kg d'écart ?
\end{enumerate}
\end{exercice}

