\begin{exercice}[Un algorithme pour sommer][\algo]
  On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et
  ${u_{n+1}=5u_{n}-6}$ pour tout entier $n\geqslant 0$.
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\item On considère la suite $(w_n)$ définie par $w_n=u_n-\dfrac32$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(w_n)$ est une suite géométrique de raison 5.
\item En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Pour tout $n\geqslant0$, on note :
\vspace{-1\baselineskip}$${S_n=\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+ ...+u_n}.$$
\vspace{-1.5\baselineskip}\begin{enumerate}
\item Calculer $S_4$.
\item \'Ecrire un algorithme qui :
 \begin{itemize}
   \item demande une valeur $n$ à l'utilisateur ;
   \item calcule $S_n$ et affiche le résultat.
 \end{itemize}
\item Montrer que $(S_n)$ est croissante.
\item Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} S_n$.
\item Modifier l'algorithme écrit précédemment afin qu'il affiche le rang à partir duquel $S_n$ devient\linebreak supérieur à $10^9$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

