\begin{exercice}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_1=50$ et ${u_{n+1}=0,4u_n+120}$ pour tout entier $n\geqslant 1$.
\begin{enumerate}
\item La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
\item \`A l'aide d'une calculatrice, conjecturer la limite de la suite $(u_n)$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que $u_n\leqslant u_{n+1} \leqslant 200$ pour tout $n\geqslant1$.
\item La suite $(u_n)$ est-elle convergente ?
\end{enumerate}
\item On considère la suite auxiliaire $(v_n)$ définie par ${v_n=u_n-200}$ pour tout $n\geqslant 1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\item Existe-il une valeur de $n$ pour laquelle on a ${u_n=200}$ ?
\item Quelle est la valeur exacte de ${u_1+u_2+u_3+...+u_{20}}$ ?
\end{enumerate}
\end{exercice}

