\begin{exercice}[Suites adjacentes, d'après Bac][\algo]
\partie[Généralités sur les suites adjacentes]
On donne, ci-dessous, la définition de deux suites\linebreak adjacentes.
\begin{cadre}[A1][A4]
Deux suites sont adjacentes lorsque :
 \begin{itemize}
   \item l'une est croissante ;
   \item l'autre est décroissante ;
   \item la différence des deux converge vers $0$.
 \end{itemize}
\end{cadre}
Démontrer à l'aide  des deux propriétés ci-dessous que :
Si $(u_n)$ et $(v_{n})$ sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.\smallskip
\begin{itemize}
\item \textbf{Propriété 1} : Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes avec $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante alors pour tout entier naturel $n$, $v_n\geqslant u_n$.
\item \textbf{Propriété 2} : Toute suite croissante et majorée converge et toute suite décroissante et minorée converge.
\end{itemize}

\partie[Application]
On considère $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies par ${u_0=0}$, ${v_0=12}$ et, pour tout $n\in\N$ :
$$\left\{\begin{array}{l}
u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}\\[2mm]
v_{n+1}=\dfrac{u_n+2v_n}{3}
\end{array}\right..$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(w_n)$ définie par ${w_n=v_n-u_n}$ pour tout $n\geqslant0$ est une suite géométrique convergente et que ses termes sont strictement positifs.
\item \begin{enumerate}
        \item Démontrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
        \item Que peut-on en déduire sur la convergence éventuelle des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ?
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
        \item Montrer que la suite $(t_n)$ définie pour tout $n$ par $t_n=2u_n+3v_n$ est constante.
        \item En déduire la limite $\ell$ de $(u_n)$ et de $(v_n)$.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
        \item \'Ecrire un algorithme :
        \begin{itemize}
          \item demandant un entier $n$ à l'utilisateur ;
          \item donnant en sortie les valeurs de $u_n$ et $v_n$.
        \end{itemize}
        \item Modifier l'algorithme de la question précédente pour qu'il donne le premier rang à partir duquel l'écart entre $v_n$ et $\ell$ est strictement inférieur à \nombre{0,00001}.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

