\begin{exercice}[Suites mêlées][\algo] 
  On considère les suites mêlées $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par
  $u_0=24$, $v_0=6$ et : \vspace{-0.35\baselineskip}\begin{center}
    $\left\{\begin{array}{l}
              u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}\\
              v_{n+1}=\sqrt{u_n\times v_n}\\
  \end{array}\right.\textrm{ pour tout }n\in\N.$
  \end{center}
  \vspace{-1.5\baselineskip}\begin{enumerate}
    \item Calculer $u_1$, $v_1$, $u_2$ et $v_2$.
    \item Montrer que $u_n>0$ et $v_n>0$ pour tout $n\in\N$.
    \item \begin{enumerate}
            \item Montrer que $u_n^2-v_n^2=\dfrac{(u_{n-1}-v_{n-1})^2}{4}$ pour tout $n\in\N^*$.
            \item En déduire que $u_n-v_n\geqslant 0$ pour tout $n\in\N^*$.
          \end{enumerate}
    \item En déduire que $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$ pour tout $n\in\N^*$.
    \item Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
    \item Exprimer $v_n$ en fonction de $u_{n+1}$ et $u_n$ et en déduire que $(v_n)$ converge vers la même limite que $(u_n)$.
    \item  Expliquer pourquoi l'algorithme ci-dessous, censé donner le premier rang tel que $\vert u_n-v_n\vert<\nombre{0,1}$, est incorrect et le modifier pour qu'il fonctionne.
  \vspace{-0\baselineskip}\begin{algorithme}
\BlocVariables
\DeclareVar{n}{entier}{}
\DeclareVar{u,v}{réels}{}
\BlocTraitement
\DonnerValeurImmediate{u}{24}
\DonnerValeurImmediate{v}{6}
\DonnerValeurImmediate{n}{0}
\TantQue{|u-v|>=0,1}
{%\DonnerValeur{w}{u}
\DonnerValeurImmediate{u}{(u+v)/2}
\DonnerValeurImmediate{v}{$\sqrt{\texttt{u*v}}$}
\DonnerValeurImmediate{n}{n+1}}
\BlocSortie
\AfficherVar{n}
\end{algorithme}
\end{enumerate}
\end{exercice}

