  \begin{exercice}[D'après Bac (Asie - 2013)][\algo]
  \partie

  On considère la suite $(w_n)$ définie par : $w_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ :
\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{center}
$w_{n+1} = \dfrac{1 + 3w_n}{3 + w_n}.$
\end{center}
\vspace{-0.5\baselineskip}On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $w_n> 1$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item \'Etablir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $w_{n+1}-w_n= \dfrac{\left(1 - w_n \right)\left(1 + w_n \right)}{3+ w_n}$.
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $(w_n)$.

En déduire que la suite $(w_n)$ converge.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie
On considère la suite $(u_n)$ 	définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ :
\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{center}
$u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_n}{0,5 + u_n}.$
\vspace{-0.5\baselineskip}\end{center}
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :
      \begin{center}
      \begin{oldalgorithme}
\textrm{\emph{Entrées :}}
Soit un entier naturel non nul $n$
\textrm{\emph{Initialisation :}}
Affecter à $u$ la valeur 2
\textrm{\textit{Traitement et sortie}}
POUR $i$ allant de 1 à $n$
   Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1+\nombre{0,5}u}{\nombre{0,5}+u}$
   Afficher $u$
Fin POUR\end{oldalgorithme}
      \end{center}

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$.\linebreak Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.
\begin{tableau}[c]{\linewidth}{4}\hline
 $i$  & 1 & 2 & 3 \\\hline
 $u$ & &&\\\hline
\end{tableau}
\item Pour $n = 12$, on a obtenu :
\begin{tableau}[c]{\linewidth}{6}\hline
 $i$  & 4 & 5 & 6&7&8 \\\hline
 $u$ & \nombre{1,0083}&\nombre{0,9973}&\nombre{1,0009}&\nombre{0,9997}&\nombre{1,0001} \\\hline
\end{tableau}
\begin{tableau}[c]{\linewidth}{6}\hline
 $i$ & 9&10&11&12 \\\hline
 $u$ & \nombre{0,99997}&\nombre{1,00001} &\nombre{0,999996} & \nombre{1,000001}  \\\hline
\end{tableau}

Conjecturer le comportement de la suite $(u_n)$ à\linebreak l'infini.
\item On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
		\item Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_n \neq 1$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = \dfrac{1 + v_n}{1 - v_n}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

